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QUESTIONS.
alors
sera le rayon du cercle inscrit ;
seront les distances respectives de son centre aux points
et
seront
les distances respectives des mêmes points aux points de contact de ce
cercle avec les côtés du triangle ou, ce qui revient au même, les
rayons des cercles qui, ayant pour centres les points
se
toucheraient deux à deux. On déduira d’ailleurs facilement des équations ci-dessus les relations suivantes :
![{\displaystyle \rho +\rho '+\rho ''=s,\left.{\begin{aligned}\rho '\rho ''d^{2}&=\mathrm {R} ^{2}c'c'',\\\rho \rho ''d'^{2}&=\mathrm {R} ^{2}cc''\ ,\\\rho \rho 'd''^{2}&=\mathrm {R} ^{2}cc'\ \ ,\\\end{aligned}}\right.\quad \mathrm {R} cc'c''=sdd'd'',\left.{\begin{aligned}\rho d'd''&=\mathrm {R} cd\ \ \ ,\\\rho 'dd''&=\mathrm {R} c'd'\ ,\\\rho ''dd'&=\mathrm {R} c''d''.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d03b805287544908a6317541ec5b14f51ba568c)
Cela posé : soient abaissées de
et
sur
les perpendiculaires
![{\displaystyle om=r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838b97b97536d824576b7c9d6114a410f89e20ab)
soit joint
, et, par
soit menée à
une parallèle se terminant en
à
le triangle
rectangle en
donne
![{\displaystyle ol=c''-pm-p'm'={\sqrt {(r'+r)^{2}-(r'-r)^{2}}}=2{\sqrt {rr'}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ea606b8494e8f9393ba3d620691c49ac20b913)
mais on a
![{\displaystyle pm=r\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}p=r{\sqrt {\frac {\rho s}{\rho '\rho ''}}}={\tfrac {\rho }{\mathrm {R} }}r,\ p'm'=r'\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}p'=r{\sqrt {\tfrac {\rho 's}{\rho \rho ''}}}={\tfrac {\rho '}{\mathrm {R} }}r'~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81618c829854500eff0d641d2a8f186c6af0b77)
substituant donc, il viendra
![{\displaystyle c''-{\frac {\rho }{\mathrm {R} }}r-{\frac {\rho '}{\mathrm {R} }}r'=2{\sqrt {rr'}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ac90b3a966bdfc91d0c4ade7c791f275a5e52b)
chassant les dénominateurs, transposant et formant les équations analogues, il viendra enfin
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho r+2\mathrm {R} {\sqrt {rr'}}+\rho 'r'&&=\mathrm {R} c'',\\&\rho r+2\mathrm {R} {\sqrt {rr''}}+\rho ''r''&&=\mathrm {R} c',\\&\rho 'r'+2\mathrm {R} {\sqrt {r'r''}}+\rho ''r''&&=\mathrm {R} c~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c03223b47e8f8b4545477c7652a2ada2c29733)
ce sont là les équations du problème.
Si l’on pose
ces trois équations deviendront