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RÉSOLUES.
![{\displaystyle {\begin{aligned}r(\rho +2\mathrm {R} x'+\rho 'x'^{2})&=\mathrm {R} c'',\\r(\rho +2\mathrm {R} x''+\rho ''x''^{2})&=\mathrm {R} c',\\r(\rho 'x'^{2}+2\mathrm {R} x'x''+\rho ''x''^{2})&=\mathrm {R} c,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4b9f06df1821c9bfae415e32cfed93dc992635)
la dernière donne ![{\displaystyle r={\frac {\mathrm {R} c}{\rho 'x'^{2}+2\mathrm {R} x'x''+\rho ''x''^{2}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9a35dddf6f76bf52fd6d21d9c328ab645b59d6)
substituant cette valeur dans les deux premières, et chassant les dénominateurs, elles deviendront
![{\displaystyle (\mathrm {A'} )\qquad c(\rho +2\mathrm {R} x'+\rho 'x'^{2})=c''(\rho 'x'^{2}+2\mathrm {R} x'x''+\rho ''x''^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a77d2091319283893606761f1edf5f0fe39e1d0)
![{\displaystyle (\mathrm {A''} )\quad c(\rho +2\mathrm {R} x''+\rho ''x''^{2})=c'(\rho 'x'^{2}+2\mathrm {R} x'x''+\rho ''x''^{2})~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adb22f0cb58499788fc248ee7c43f7ed69f3a59)
il n’est donc plus question que de tirer de ces deux équations les valeurs de
pour les substituer dans celle de
.
Si on multiplie l’équation
par
, et l’équation
par
en les développant toutes deux, mettant pour
sa valeur
et remarquant qu’on a
![{\displaystyle \qquad s(c-c'')=c(s-c'')-c''(s-c)=c\rho ''-c''\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66b90b84b30403fbaa3569ef4ab3fd19bce2d7e)
![{\displaystyle \qquad s(c-c')=c(s-c')-c'(s-c)=c\rho '-c'\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f9e38996d24e285ad66c9831b0b6a527bc62a0)
![{\displaystyle \qquad {\frac {c'c''\rho }{s}}=d^{2},\qquad \quad {\frac {cc''\rho '}{s}}=d'^{2},\qquad \quad {\frac {cc'\rho ''}{s}}=d''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cec4c232cab452b9cbf3092c4da13b9538703db)
elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\{d(\mathrm {R} x'+\rho ''x'')\right\}^{2}-\left\{d''(\mathrm {R} x'+\rho )\right\}^{2}&=0,\\\left\{d(\mathrm {R} x''+\rho 'x')\right\}^{2}-\left\{d'(\mathrm {R} x''+\rho )\right\}^{2}&=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9287acaa1f1ed97fc28cd1239dcde7e1fbaeb058)
et pourront alors être mises sous cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\{d(\mathrm {R} x'+\rho ''x'')+d''(\mathrm {R} x'+\rho )\right\}\left\{d(\mathrm {R} x'+\rho ''x'')-d''(\mathrm {R} x'+\rho )\right\}&=0,\\\left\{d(\mathrm {R} x''+\rho 'x')+d'(\mathrm {R} x''+\rho )\right\}\left\{d(\mathrm {R} x''+\rho 'x')-d'(\mathrm {R} x''+\rho )\right\}&=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da0aa8fa62213d8dc2aa080609fe4e2e771218d)
En combinant, de toutes les manières possibles, un facteur de la première avec un facteur de la seconde, on obtiendra quatre solutions du problème. On peut remarquer, au surplus, que la différence entre les premiers et les seconds facteurs porte uniquement sur les signes de
et
.
Si l’on demande que les cercles cherchés se touchent extérieurement et soient tous trois intérieurs au triangle donné, on pourra lever l’in-