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NOTE COMMUNIQUÉE.
NOTE
Communiquée aux rédacteurs des Annales, sur la lettre
de M. Kramp, insérée à la page 319 de ce volume ;
Par M. Tédenat, correspondant de la première classe de
l’Institut, recteur de l’académie de Nismes.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Toute équation du second degré à deux indéterminées peut toujours,
par des transformations, se réduire à la forme suivante :
![{\displaystyle y^{2}-Ax^{2}=B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7dcf8c76bd2635e735f1bbabd517e092d69ad12)
La résolution de cette équation, en nombres entiers, lorsqu’elle
est possible, peut se ramener à l’intégration d’une équation aux différences finies de cette forme :
![{\displaystyle y''-2my'+y=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c38bafda90a9fbc79010528e3462a96426424cb)
son intégration donne
(1)
![{\displaystyle \ y={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}+{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658df70ab8cdf3a04337c5cc1d751992bb48e05d)
(2)
![{\displaystyle \ x={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}-{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d9283f2e5e8879bfefd139093073223b5da699)
Dans ces formules
sont les plus petites valeurs entières de
; qui satisfassent à l’équation
sont deux nombres entiers satisfaisant à l’équation
Je me propose, dans une autre circonstance, de démontrer toutes
ces propositions, ainsi que beaucoup d’autres sur les fractions-continues.
L’équation que M. Kramp se propose de résoudre (pag. 283) est celle-ci
![{\displaystyle y^{2}-11x^{2}=49.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61edd428517709a62799974818a6216f3661237)
Les plus petites valeurs entières de
qui satisfassent à l’équation
sont
celles de
sont