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LOGARITHMIQUES.
17. Si, au lieu de tirer de l’équation
la valeur de p, on prend celle de
, on aura :
![{\displaystyle \textstyle \phi =-{\frac {2\lambda \mu -\lambda -\mu \pm {\sqrt {\lambda ^{2}-2\lambda \mu -(4\lambda ^{3}-4\lambda ^{2}-1)\mu ^{2}+4\lambda ^{2}(\lambda -1)\mu ^{3}}}}{2(\lambda -1)(\mu -1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d35db8619e2fb9b977ebfa1ecca9882f794dbba)
et, en égalant la quantité soumise au radical à ![{\displaystyle (\lambda -k\mu +h\mu ^{2})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7f27188214980486993edfeb36ba8c7c533b63)
![{\displaystyle \lambda ^{2}-2k\lambda \mu +(2h\lambda +k^{2})\mu ^{2}-2hk\mu ^{3}+\mu ^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c22e3890dc4fd014fa6f1ad0a2d3064d46c72a1)
les coefficiens de
, supposés égaux de part et d’autre, donneront
. On trouvera ensuite fort aisément
. Enfin, en substituant respectivement
à la place de
dans l’équation
; on parviendra à l’équation principale :
![{\displaystyle \left[x+{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\right]\left[x+{\frac {\lambda +1}{\lambda }}\right]\left[x-{\frac {\lambda -1}{\lambda ^{2}}}\right]\left[x+{\frac {\lambda +1}{\lambda ^{2}}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8f62919ffdb8a50d885a3b9546dc0f7838786c)
qui, en multipliant toutes ses racines par
, devient :
![{\displaystyle \left[x+\lambda (\lambda -1)\right]\left[x+\lambda (\lambda +1)\right]\left[x-(\lambda -1)\right]\left[x+(\lambda +1)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ac2696885e5f7cfcbc0bced74cc835ca441d25)
et a pour résultante :
![{\displaystyle x^{2}\left[x+\lambda ^{2}+1\right]^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a76f252d3b3774a89de257d7873901afc5c76e4)
Ces deux équations ne sont autre chose que les équations
du n.o 14, et les reproduisent en faisant
multipliant ensuite toutes les racines par
.
18. On pourrait maintenant, à l’aide des valeurs obtenues dans les deux derniers n.os pour les indéterminées
, avoir d’autres valeurs qui satisferaient également à la question. Pour en donner un exemple, supposons qu’ayant trouvé dans le n.o précédent que la