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FORMULES.

qui, en multipliant toutes ses racines par $\lambda -1$, devient

$\left[x^{2}-(\lambda ^{2}-1)^{2}\right]\left[x^{2}-4\lambda ^{2}\right]=0$,

et a pour résultante

$x^{2}\left[x^{2}-(\lambda ^{2}+1)-2\right]=0$ ;

ces deux équations ne sont autre chose que les équations I du n.^o 14, et les reproduisent en faisant $\lambda ={\frac {a}{b}}$ et multipliant ensuite toutes les racines par $b$.

2.^o Si l’on fait la quantité qui est sous le radical égale à $(h\phi ^{2}+k\phi +\lambda )^{2}$

on aura

${\begin{array}{rrrr}(\lambda -1)^{2}\phi ^{4}-&2(\lambda -1)(2\lambda -1)\phi ^{3}-&(4\lambda ^{3}-10\lambda ^{2}+6\lambda -1)\phi ^{2}+&2\lambda (2\lambda ^{2}-2\lambda +1)\phi +\lambda ^{2}\ \ \\=h^{2}\phi ^{4}+&2hk\phi ^{3}+&(2h\lambda +k^{2})\phi ^{2}+&2k\lambda \phi +\lambda ^{2}\,;\\\end{array}}$

égalant ensuite d’une part les coefficiens de $\phi$, et d’autre part ceux de $\phi ^{2}$, il viendra $k=2\lambda ^{2}-2\lambda +1{\text{ et }}h=-(2\lambda ^{2}-1)(\lambda -1)$.

L’équation ci-dessus donnera $\phi ={\frac {2\lambda }{\lambda ^{2}-1}}$ et les valeurs de $\mu$ deviendront $\mu =-{\frac {1}{\lambda }}{\text{ et }}\mu ={\frac {2\lambda }{\lambda +1}}$. L’une ou l’autre de ces valeurs étant substituée dans l’équation $\mathrm {(L)}$ du n.^o précédent, on aura l’équation principale

$\left[x+{\frac {2}{\lambda +1}}\right]^{2}\left[x+{\frac {\lambda ^{2}+1}{\lambda ^{2}-1}}\right]\left[x-{\frac {\lambda ^{2}+1}{\lambda (\lambda +1)^{2}}}\right]=0$,

qui, en multipliant toutes ces racines par $\lambda (\lambda -1)(\lambda +1)^{2}$, devient

$\left[x+2\lambda (\lambda ^{2}-1)\right]^{2}\left[x+\lambda (\lambda +1)(\lambda ^{2}+1)\right]\left[x-(\lambda -1)(\lambda ^{2}+1)\right]=0$,

et a pour résultante

$x^{2}\left[x+(\lambda +1)(3\lambda ^{2}-2\lambda +1)\right]\left[x+\lambda (\lambda -1)(\lambda ^{2}+2\lambda +3)\right]=0$.