13. Les trois plans principaux du tétraèdre divisent l’octaèdre inscrit en huit tétraèdres équivalens, et symétriques deux à deux ; puis donc que leur somme est la même que celle des quatre tétraèdres excédans, on en doit conclure que chacun de ces derniers est double de chacun de ceux qui résultent de la division de l’octaèdre par les plans principaux ; d’où il suit encore que les droites qui joignent le centre du tétraèdre à ses sommets, sont coupées par les faces de l’octaèdre inscrit au tiers de leur longueur.
14. Les quatre tétraèdres excédans peuvent être considérés comme un même tétraèdre appliqué successivement à l’octaèdre par chacune de ses faces, lesquelles deviennent ainsi quatre des huit triangles qui terminent cet octaèdre ; ces quatre triangles ne sont pas égaux, en général, mais chacun d’eux a son égal sur la face opposée de l’octaèdre ; celui-ci reste à découvert et fait partie de la surface du tétraèdre total. Si l’on enlève les quatre tétraèdres excédans pour les transporter sur celles des faces de l’octaèdre, qui, en premier lieu, étaient à découvert, ces tétraèdres, ainsi disposés, formeront avec l’octaèdre le tétraèdre conjugué du tétraèdre total, ayant cet octaèdre pour sa partie commune avec lui. Les deux tétraèdres conjugués seront inscrits au même parallélipipède ; leur douze arêtes seront les diagonales de ses faces, et leurs sommets correspondans seront les sommets de ses angles opposés.
15. Deux tétraèdres conjugués forment un système symétrique relativement à leur centre commun ; car toute droite qui y passe, se terminant à des faces ou arêtes parallèles, a son milieu en ce point. Un plan quelconque, passant par le centre, divise d’abord l’octaèdre en deux parties symétriques et rencontre ensuite les tétraèdres excédans sur leurs arêtes homologues, à des distances égales de leurs sommets ; le système est donc divisé, par ce plan, en deux parties égales et symétriques. Les sections principales sont les mêmes pour les deux tétraèdres conjugués, parce qu’elles ne rencontrent pas les tétraèdres excédans. Enfin, les sections, passant par une arête de l’un des tétraèdres, passent par l’arête correspondante de son conjugué, et sont figurées par deux triangles égaux et renversés.
