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PROPRIÉTÉS.
16. Si, par les extrémités de la plus courte distance entre deux
arêtes opposées de l’un des tétraèdres et par leur centre commun, on
conduit deux droites, elles se termineront aux arêtes correspondantes
de son conjugué. La droite qui joindra les points de rencontre sera
donc égale et parallèle à cette plus courte distance ; elle sera donc,
comme elle, perpendiculaire à deux faces opposées du parallélépipède
circonscrit, et sera ainsi la plus courte distance des arêtes du conjugué
auxquelles elle se terminera.
17. En conduisant un plan par l’arête
et le milieu
de l’arête
opposée
, le triangle
donne
[1] d’un
autre côté les deux triangles
donnent
; mettant donc, dans cette dernière équation, pour
), la valeur que donne la première, on obtiendra le théorème d’Euler :
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+4{\overline {RS}}^{2}.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53a397711c7e64a7d65898a9be157b63122fd4b)
Les deux autres axes donnant des équations analogues, si on les ajoute à celle-ci, on parviendra à la formule connue :
![{\displaystyle \mathrm {{\text{(a)}}\ {\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=4({\overline {NQ}}^{2}+{\overline {MP}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}).} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad5ddb24f9b9f92fe2e03ecfddf92c7a105efc4)
18. Dans un triangle dont
sont les côtés et
les droites qui joignent leurs milieux respectifs aux sommets des an-
- ↑ On a, en effet, dans les deux triangles
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {RS}}^{2}+{\overline {BR}}^{2}-{\overline {BS}}^{2}=2RS\cdot BR\cdot \operatorname {Cos} .BRS,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4a164fbcfe2aa8ff0337fcbeffe8f099a48402)
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {RS}}^{2}+{\overline {DR}}^{2}-{\overline {DS}}^{2}=2RS\cdot DR\cdot \operatorname {Cos} .DRS~;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8495ab487b99fa0f6e661f40b5ff21d9d9d35c14)
Si l’on remarque que
, que
et que
en prenant le double de la somme de ces deux équations, on obtiendra celle qui est annoncée dans le texte.
(Note des éditeurs.)