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PROPRIÉTÉS.

16. Si, par les extrémités de la plus courte distance entre deux arêtes opposées de l’un des tétraèdres et par leur centre commun, on conduit deux droites, elles se termineront aux arêtes correspondantes de son conjugué. La droite qui joindra les points de rencontre sera donc égale et parallèle à cette plus courte distance ; elle sera donc, comme elle, perpendiculaire à deux faces opposées du parallélépipède circonscrit, et sera ainsi la plus courte distance des arêtes du conjugué auxquelles elle se terminera.

17. En conduisant un plan par l’arête $\mathrm {BD}$ et le milieu $\mathrm {S}$ de l’arête opposée $\mathrm {AC}$, le triangle $\mathrm {BSD}$ donne $\mathrm {2({\overline {BS}}^{2}+{\overline {DS}}^{2})={\overline {BD}}^{2}+4{\overline {RS}}^{2}~;}$^[1] d’un autre côté les deux triangles $\mathrm {ABC,ADC}$ donnent
$\mathrm {2({\overline {AB}}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2})=2{\overline {AC}}^{2}+4({\overline {BS}}^{2}+{\overline {DS}}^{2})}$ ; mettant donc, dans cette dernière équation, pour $\mathrm {2({\overline {BS}}^{2}+{\overline {DS}}^{2}}$), la valeur que donne la première, on obtiendra le théorème d’Euler :

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+4{\overline {RS}}^{2}.}$

Les deux autres axes donnant des équations analogues, si on les ajoute à celle-ci, on parviendra à la formule connue :

$\mathrm {{\text{(a)}}\ {\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=4({\overline {NQ}}^{2}+{\overline {MP}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}).}$

18. Dans un triangle dont $\mathrm {C,C',C''}$ sont les côtés et $\mathrm {S,S',S'',}$ les droites qui joignent leurs milieux respectifs aux sommets des an-

1. On a, en effet, dans les deux triangles $\mathrm {RSB,RSD}$
   $\mathrm {{\overline {RS}}^{2}+{\overline {BR}}^{2}-{\overline {BS}}^{2}=2RS\cdot BR\cdot \operatorname {Cos} .BRS,}$
   $\mathrm {{\overline {RS}}^{2}+{\overline {DR}}^{2}-{\overline {DS}}^{2}=2RS\cdot DR\cdot \operatorname {Cos} .DRS~;}$

   Si l’on remarque que $\mathrm {BR=DR}$, que $\operatorname {Cos} .\mathrm {BRS} +\operatorname {Cos} .\mathrm {DRS} =0$ et que $\mathrm {2{\overline {BR}}^{2}+2{\overline {DR}}^{2}=4{\overline {BR}}^{2}={\overline {BD}}^{2}~;}$ en prenant le double de la somme de ces deux équations, on obtiendra celle qui est annoncée dans le texte.

   (Note des éditeurs.)