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PROPRIÉTÉS.

${\begin{aligned}2\mathrm {({\overline {OD}}^{2}+{\overline {OA}}^{2})} &\mathrm {={\overline {DA}}^{2}+4{\overline {OM}}^{2}} ,\\2\mathrm {({\overline {OA}}^{2}+{\overline {OC}}^{2})} &\mathrm {={\overline {AC}}^{2}+4{\overline {OS}}^{2}} ,\\2\mathrm {({\overline {OB}}^{2}+{\overline {OD}}^{2})} &\mathrm {={\overline {BD}}^{2}+4{\overline {OR}}^{2}} ,\\\end{aligned}}$

en ajoutant ces six équations on aura $\mathrm {6({\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}+{\overline {OD}}^{2})}$

$\mathrm {={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+2({\overline {NQ}}^{2}+{\overline {MP}}^{2}+{\overline {RS}}^{2})~;}$

d’où on conclura (17)

$\mathrm {{\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}+{\overline {OD}}^{2}={\overline {NQ}}^{2}+{\overline {MP}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}.}$

Si l’on ajoute la première équation avec la troisième, la seconde avec la quatrième et la troisième avec la sixième, il viendra

$(b)\ \mathrm {2({\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}+{\overline {OD}}^{2})={\overline {AB}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}+2{\overline {NQ}}^{2}}$

$=\mathrm {{\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+2{\overline {MP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+2{\overline {RS}}^{2}.}$

Ainsi, dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme des quarrés de deux côtés opposés, plus deux fois le quarré de la droite qui joint leurs milieux, est une quantité constante et égale à deux fois la somme des quarrés des distances des sommets au point d’intersection des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

21 Ces formules ont encore lieu pour un triangle, en considérant un point pris arbitrairement sur l’un quelconque des côtés comme le quatrième sommet du quadrilatère. Mais, si l’on divise un côté $\mathrm {AB}$ (fig. 3) en quatre parties égales, aux points $n,\mathrm {M} ,q,$ et si l’on joint les milieux $m,p,$ des autres côtés avec les points de division $n,q,$ les triangles $\mathrm {AOM,MOB,BOC,COA,}$ donneront

$2\mathrm {({\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}+{\overline {OM}}^{2})={\overline {AM}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}} +2{\overline {mn}}^{2}$

$=\mathrm {{\overline {BM}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}} +2{\overline {pq}}^{2}$

donc

$2({\overline {mn}}^{2}-{\overline {pq}}^{2})=\mathrm {{\overline {AC}}^{2}-{\overline {BC}}^{2}} ~;$

le parallélogramme $pmqn$ donne d’ailleurs

$2({\overline {mn}}^{2}+{\overline {pq}}^{2})=\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CM}}^{2}} ~;$