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DU TÉTRAÈDRE.
et, si l’on tire les droites
on trouvera
![{\displaystyle 2({\overline {\mathrm {C} n}}^{2}-{\overline {\mathrm {C} q}}^{2})={\overline {\mathrm {AC} }}^{2}-{\overline {\mathrm {BC} }}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e85d8de1f4539b11b6c2e5a664ea95a964ce71)
22. Si, dans le tétraèdre
(fig. 1), on suppose droits les angles plans
ce qui donnera
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}-{\overline {AD}}^{2},\quad {\overline {AC}}^{2}={\overline {CD}}^{2}-{\overline {AD}}^{2},} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d756fa18f9974c829d6502f86802b00da61042)
on conclura de l’équation
au moyen de celles-ci,
donc, si l’angle trièdre
est trirectangle, on aura
![{\displaystyle \mathrm {NQ=MP=RS.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3bbef2f6ae0e9bbe006bd7feb49b531f71063b)
Ainsi, dans le tétraèdre rectangle, les trois axes sont égaux.
Désignant donc par
l’un de ces axes, la formule (a) donnera
Ainsi, chacun des axes d’un tétraèdre rectangle est moitié de la distance du sommet de l’angle droit trièdre au point qui aurait les trois arêtes rectangulaires pour ses coordonnées.
Il est facile de voir que les axes se coupent sur cette ligne ; au quart de leur longueur, à partir du sommet. Les sections principales sont alors des rectangles ; l’aire de chacune d’elles est le quart du produit des deux arêtes opposées qui lui sont parallèles ; et, comme elle est aussi égale à la moitié du produit des deux axes qui lui servent de diagonales par le sinus de l’angle qu’ils font entre eux, si on désigne cet angle par
, et par a l’angle que fait
avec
, on aura
on tire de là
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .a=2\cdot {\frac {\mathrm {AB} }{2p}}\cdot {\frac {\mathrm {DC} }{2p}}=2\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Sin} .\alpha =\operatorname {Sin} .2\alpha ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e00b6fd707fbdfcbcf38550cfb963ce192610ac)
ainsi l’angle de deux axes est double de celui que fait la ligne
avec l’arête rectangulaire qui passe par le troisième.
23. Soient donc
les trois angles que fait respectivement la ligne
avec les arêtes rectangulaires
on aura