a uniquement que ceux qui passent par quelqu’un de ses axes qui le divisent en deux parties équivalentes.
Dans la démonstration de cette proposition, nous distinguerons deux cas, savoir : celui où le plan coupant rencontre deux couples d’arêtes opposées, et donne conséquemment une section quadrangulaire, et celui où au contraire ce plan, rencontrant les trois arêtes d’un même angle trièdre, fournit une section triangulaire.
Soit donc, en premier lieu, (fig. 5) une section faite au tétraèdre par un plan passant par son centre et rencontrant en ses arêtes , sans comprendre aucun de ses axes. Par son intersection avec l’un des deux plans principaux qui coupent les arêtes , et par l’axe qui n’est pas compris dans ce plan, soit conduit un plan , ce plan (25) partageant le tétraèdre en deux parties équivalentes, il ne s’agira que de prouver que les portions de ce tétraèdre comprises, de part et d’autre, entre ce plan et le premier, ne sont pas équivalentes. Pour cela soient menées il est facile de s’assurer que les tétraèdres et , qui ont pour bases les deux triangles égaux et , ont aussi même hauteur, et sont par conséquent équivalents ; or le dernier de ces tétraèdres forme, à lui seul, une des parties du tétraèdre total comprises entre les plans coupants, tandis que, pour former l’autre, il faut ajouter à son égal les deux polyèdres lesquels ne seront jamais nuls, tant que le plan ne contiendra aucun des axes. Les portions de tétraèdre comprises entre les plans et sont donc inégales ; ce dernier plan ne divise donc pas le tétraèdre en deux parties équivalentes.
Supposons, en second lieu, que le plan coupant rencontre les trois arêtes d’un même angle trièdre du tétraèdre, en passant toujours par son centre. Si d’abord ce plan est parallèle à celui de la face qu’il ne rencontre pas, il est aisé de voir (3) qu’il divisera le tétraèdre en deux parties dont le rapport sera celui de 27 à 37 et qui conséquemment ne seront pas équivalentes.
