Admettons donc qu’il n’en soit pas ainsi, et soit (fig. 6) un tétraèdre coupé par un plan , passant par son centre et coupant l’angle trièdre , sans être parallèle à la face opposée ; les distances des points , au plan ne pouvant alors être égales, il y aura toujours deux , de ses points dont les distances à ce plan ne seront pas plus grandes que celle du point au même plan, et, parmi ces deux, il y en aura au moins un pour lequel cette distance sera moindre. Cela étant ainsi, la perpendiculaire abaissée sur le plan , d’un point pris entre et , sera au moins égale à celle qu’on abaisserait du point sur le même plan ; mais la perpendiculaire abaissée sur le plan , d’un point pris entre et , sera plus grande que celle qu’on abaisserait du point sur le même plan. Or, la somme des perpendiculaires abaissées des points , sur le plan étant (3) égale à la perpendiculaire abaissée du point sur le même plan, on en doit conclure que cette dernière est moindre que la somme des perpendiculaires abaissées, sur le plan , du point et de deux autres points pris sur et .
Cela posé, par soit conduit un plan parallèle à l’arête ; le prisme triangulaire aura pour expression l’aire du triangle multipliée par le tiers de la somme des distances des points au plan de ce triangle ; ce prisme sera donc plus grand que le tétraèdre , qui a pour expression l’aire du même triangle multipliée par le tiers de la distance du point à son plan ; donc, à plus forte raison, le volume du tétraèdre sera moindre que celui du tronc de tétraèdre , dont le prisme fait seulement partie ; donc enfin le plan partage le tétraèdre en deux parties inégales[1].
- ↑ Il résulte de tout ceci que le problème proposé à la page 127 de ce volume, pris dans le sens le plus général, est encore à résoudre. On doit espérer que M. J. L…,
qui a su y jeter tant de jour, ne voudra pas laisser à d’autres le soin d’en compléter
la solution.
(Note des éditeurs.)