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INVARIABILITÉ.
Notre proposition sera démontrée (comme on le verra bientôt) si,
étant deux états correspondans, aussi voisins qu’on voudra de
respectivement, on reconnaît que la relation
![{\displaystyle y_{a+1}=\mathrm {F} _{2}(x_{a+1})\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7001939c8dac82964061f045e01d24bfcc9558)
(1)
est une absurdité ;
désignant une fonction déterminée, connue ou inconnue, autre que celle qui est désignée par
.
Pour établir cette proposition, formons le tableau des séries d’états variables de
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|r|c|r|r|c|r|c}x&x_{1}&x_{2}&\ldots &x_{a}&x_{a+1}&\ldots &x_{h}&\mathrm {(I)} \\y&y_{1}&y_{2}&\ldots &y_{a}&y_{a+1}&\ldots &y_{h}&\mathrm {(II)} \\\mathrm {F_{1}} (x)&\mathrm {F} _{1}(x_{1})&\mathrm {F} _{1}(x_{2})&\ldots &\mathrm {F} _{1}(x_{a})&\mathrm {F} _{1}(x_{a+1})&\ldots &\mathrm {F} _{1}(x_{h})&\mathrm {(III)} \\\mathrm {F_{2}} (x)&\mathrm {F} _{2}(x_{1})&\mathrm {F} _{2}(x_{2})&\ldots &\mathrm {F} _{2}(x_{a})&\mathrm {F} _{2}(x_{a+1})&\ldots &\mathrm {F} _{2}(x_{h})&\mathrm {(IV)} \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be657926a70482697c5745753fa4fd0c4c7ecd4a)
Cela posé, soient
![{\displaystyle {\begin{array}{rrlc}x_{a+1}-&x_{a}&=i,&\quad (2)\\y_{a+1}-&y_{a}&=i',&\quad (3)\\\mathrm {F_{1}} (x_{a+1})-&\mathrm {F} _{1}(x_{a})&=i'',&\quad (4)\\\mathrm {F_{2}} (x_{a+1})-&\mathrm {F} _{2}(x_{a})&=i''',&\quad (4)\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79e48bbd409ab478c2255e7511aeaef4c54c216)
désignant des quantités qui, sans être nulles, tombent au-dessous d’une limite donnée, si petite qu’on voudra la supposer.
Si (1) est possible, on a, à cause de (3), et de
pas de doute qu’une telle expression ne puisse tendre vers zéro, puisqu’il suffit pour cela que
et
tendent eux-mêmes vers cette limite commune. Nous dirons donc que les deux termes que nous considérons ici sont d’autant plus voisins que
et
seront plus petits, et la loi de continuité consistera, dans ce cas, en ce qu’on puisse concevoir ces deux termes assez voisins pour que
et
, sans être nuls, puissent tomber, l’un et l’autre, au-dessous d’une limite donnée, quelque petite d’ailleurs qu’on suppose cette limite.