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QUESTIONS RÉSOLUES.
Il s’agit de déterminer en quel lieu il faut établir ce pont, et
de quelle manière on doit diriger les branches de la route, pour
que la longueur totale de celle-ci soit la moindre possible ?
Solution. Soit
(fig.7) la direction du canal, soient
,
les deux villes desquelles soient abaissées sur
les perpendiculaires
soit prolongée l’une quelconque
de ces perpendiculaires,
au-delà de
, d’une quantité
; soit menée
coupant
en
et soit joint
.
Si chacun des deux angles égaux
n’excède pas
;
ou, ce qui revient au même, si aucune des perpendiculaires
ou
n’excède la moitié de
ou
, le point
sera celui
où il faudra établir le pont, et on communiquera de ce pont aux
deux villes par les routes
.
Si les angles égaux
excèdent
; ou, ce qui revient
au même, si
et
sont moindres que les doubles de
et
respectivement ; après avoir joint
par une droite coupant en
la direction du canal, on examinera quelle est la grandeur de l’angle
.
Si cet angle n’est pas moindre que
, ou, ce qui revient au
même, si
et
ne sont pas moindres que les moitiés de
et
respectivement, le pont devra être établi au pied
de la
perpendiculaire abaissée, sur la direction du canal de la ville qui
en est la plus voisine ; et on communiquera de ce pont aux deux
villes par la route
.
Si enfin l’angle
est moindre que
, c’est-à-dire, si
et
sont moindres que les moitiés respectives de
et
,
les angles
et
étant toujours plus grands que
, on
construira de la manière suivante :
Tout étant d’ailleurs dans la figure 8 comme dans la figure 7,
soient décrits des points
, comme centres, et avec des rayons
arbitraires, des arcs coupant
et
en
et
; de ces points
et
comme centres, et avec les mêmes rayons respectifs, soient
décrits de nouveaux arcs coupant les premiers en
et
; soient