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QUESTIONS RÉSOLUES.

de $\varphi [x'_{h'},x''_{h''},\cdots ,x_{h^{(k)}}^{(k)},x^{(k+1)}]$, fonction de la seule variable $x^{(k+1)}$ et dont un autre état particulier est $\mathrm {F} _{1}[x'_{h'},x''_{h''},\cdots ,x_{h^{(k)}}^{(k)},x_{a^{(k+1)}}^{(k+1)}]$ ; donc $\mathrm {(I)}$ on doit avoir $y_{h'h''\cdots h^{(k)}h^{(k+1)}}=\mathrm {F} _{1}[x'_{h'},x''_{h''},\cdots ,x_{h^{(k)}}^{(k)},x_{h^{(k+1)}}^{(k+1)}]$ comme nous l’avons annoncé.

IV. Conclusion. La proposition étant effectivement prouvée $\mathrm {(I)}$, $\mathrm {(II)}$ pour $k=1,k=2$ il s’ensuit $\mathrm {(III)}$ qu’elle est vraie pour $k=3,k=4,\cdots$ pour un nombre quelconque, pour un nombre $m$ de variables.

V. Il est maintenant facile de voir que cette proposition embrasse dans sa généralité, toutes celles qui concernent les incommensurables, les formules trigonométriques, le développement de $(1+z)^{m}$, $m$ étant quelconque, etc., etc. Il y a plus, elle s’applique à des fonctions composées de plusieurs séries séparées, comme sont les ordonnées des deux parties d’une hyperbole ; la loi de continuité étant conservée, dans les deux séries distinctes, par les expressions imaginaires qui, entre autres propriétés, ont l’importante destination de lier des résultats qui, sans leurs intermédiaires, sembleraient isolés les uns des autres.

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du premier des deux problèmes proposés à la
page 292 de ce volume ;

Par M. Vecten, professeur de mathématiques spéciales
au lycée de Nismes.

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Énoncé. Deux villes se trouvent situées d’une manière connue, d’un même côté d’un canal rectiligne.

On veut établir un pont sur ce canal, et construire une route de communication de ce pont aux deux villes pour l’usage desquelles il est destiné.