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LOGARITHMIQUES.

l’une et dans l’autre une quantité effective, soit qu’on veuille qu’une de ces nouvelles équations devienne résultante de l’autre. Ces transformations présentant d’ailleurs quelques conséquences utiles, nous allons les examiner d’une manière générale.

20. Prenons l’équation principale :

$\left.{\begin{array}{lr}&x^{m}+px^{m-1}+\ldots \ldots \ldots +rx+s=0\\{\text{ou }}&(x+a)(x+b)\ldots (x+h)(x+k)=0\\{\text{ayant}}&{\text{pour résultante :}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\&x^{m}+px^{m-1}+\ldots \ldots +rx=0\\{\text{ou }}&(x+\alpha )(x+\beta )\ldots (x+\eta )=0\end{array}}\right\}$N

et mettons dans l’une et dans l’autre $x+d$ à la place de $x$.

1.^o Si $d$ n’est égal à aucune des racines $-a,-b,{\text{ etc., }}-\alpha ,-\beta {\text{ etc., }}$les deux transformées auront tous leurs termes respectivement égaux, à l’exception du dernier qui sera $d^{m}+pd^{m-1}+\ldots +rd+s=0$, dans la première, et $d^{m}+pd^{m-1}+\ldots +rd=0$ dans la seconde, et par conséquent une quantité effective dans l’une et dans l’autre.

21. 2.^o Si $d$ est égal à une des racines de l’une quelconque des équations $\mathrm {N,}$ la transformée de l’équation à laquelle appartient cette racine, aura une racine égale à zéro ; son premier membre sera divisible par $x^{2}$, et elle sera la résultante de l’autre tranformée, qui aura essentiellement ses dernier et avant-dernier termes.

22. 3.^o Si l’une quelconque des équations $\mathrm {N}$ a deux racines égales, en prenant $d$ égal à ces racines, la transformée de l’équation à laquelle elles appartiennent, aura deux racines égales à zéro, son premier membre sera divisible par $x^{2}$, et elle sera la résultante de l’autre transformée qui n’aura point de pénultième terme.

23. 4.^o Si l’une quelconque des équations $\mathrm {N}$ pouvait avoir trois racines égales, en prenant d égal à ces racines, la transformée de l’équation à laquelle elles appartiendraient, aurait trois racines égales à zéro ; son premier membre serait divisible par $x^{3}$, et elle serait la résultante