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FORMULES.

de l’autre transformée qui manquerait de ses pénultième et antépénultième termes. Mais une équation quelconque, dont les racines sont réelles, ne peut être privée de deux termes consécutifs. Donc, en général, il est impossible que deux équations qui ne diffèrent entre elles que par leur dernier terme, et qui ont des racines réelles, et à plus forte raison des racines commensurables, puissent, l’une ou l’autre y avoir trois ou un plus grand nombre de racines égales. On voit, par ce théorème que, n étant un nombre entier positif plus grand que 2, le premier membre de l’une quelconque de nos équations ne peut avoir un facteur de la forme $(x+a)^{n}$, mais rien ne s’oppose à ce qu’il en ait plusieurs de la forme $(x+a)^{2}$, c’est-à-dire, à ce que l’équation ait plusieurs couples de racines égales.

24. On peut encore démontrer très-aisément que deux équations du genre de celle que nous considérons, ne peuvent avoir une racine commune ; car, en nommant $a$ cette racine, les premiers membres de ces équations seraient exactement divisibles par $x-a$ ; mais, par l’hypothèse, les dividendes ne différant entre eux que par leur dernier terme, les quotiens ne pourraient non plus avoir de différence que dans le terme non affecté de $x$ ; donc les équations primitives, abaissées d’un degré par la division, donneraient encore deux équations qui ne différeraient entre elles que par leur dernier terme. Maintenant, ces dernières, étant multipliées par $x-a$, devraient reproduire les équations primitives : or c’est ce qui est impossible. En effet, 1.^o les produits partiels des premiers membres par $x$, différeraient entre eux par leur terme affecté de la première puissance de $x$ ; 2.^o les produits partiels de ces mêmes premiers membres par $-a$ différeraient entre eux par leur terme non affecté de $x$ ; par conséquent les produits totaux différeraient entre eux par leurs deux derniers termes, et ne reproduiraient pas les équations primitives. Donc deux équations qui n’ont entre elles de différence que dans leur dernier terme, ne peuvent avoir une racine commune.

25. Nous avons vu, n.^o 20, que, lorsque $d$ n’est égal à aucune des racines des équations N, les transformées ne diffèrent entre elles