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LOGARITHMIQUES.
dont la résultante est :
![{\displaystyle x(x+b+c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ea46ac7745f513feb58ac0c5d2583eb5aaea8e)
l’équation auxiliaire
![{\displaystyle x^{2}+(b+c)x+{\frac {bc}{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3723ad968dd1631346cb8ac3b53be47c21bd4c)
donne :
![{\displaystyle x={\frac {-(b+c)\pm {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb50066b6624bb8dce8be5d041cb814d2d39b3d)
et en faisant :
![{\displaystyle b^{2}+c^{2}=(a+c)^{2}=a^{2}+2ac+c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485cca32565e8f0c4fb59fad2667f257a35beeaf)
on trouve :
![{\displaystyle c=-{\frac {a^{2}-b^{2}}{2a}}\quad {\text{ et }}\quad b^{2}+c^{2}={\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{4a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ded16af64301df061e3272369619aac9d2581b)
d’où on déduit : ![{\displaystyle x={\frac {a^{2}-2ab-b^{2}\pm (a^{2}+b^{2})}{4a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a81d6af91f97d7c13fe40de73d43bca26e93769)
Les valeurs de
, dans le cas présent, seront donc,
![{\displaystyle d={\frac {a-b}{2}}\quad {\text{ et }}\quad d=-{\frac {b(a+b)}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565d639f16294f66289de5fdda639aab56f90d15)
En prenant la première valeur, et substituant, dans la proposée ainsi que dans sa résultante,
à la place de
, on aura deux transformées qui, en multipliant toutes leurs racines par
, deviendront :
![{\displaystyle x^{2}+(a^{2}+b^{2})x-ab(a^{2}-b^{2})=0{\text{ ou }}\left[x+2(a+b)\right]\left[x-b(a-b)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057c5c36d61e66fa6cf6d573526adc8e8e597100)
![{\displaystyle x^{2}+(a^{2}+b^{2})x+ab(a^{2}-b^{2})=0{\text{ ou }}\left[x+2(a-b)\right]\left[x+b(a+b)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee1e06979f892f0bed89decab58718d04b2d10c)
Ces deux équations, ne différant entre elles que par le signe de leur dernier terme, et ayant une résultante commune dont les racines sont