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FORMULES.

commensurables, on pourra, d’après la remarque du n.^o précédent, les multiplier l’une par l’autre, et on retrouvera les équations K du n.^o 14.

La seconde valeur de $d$ conduirait aux mêmes équations, en changeant les signes de toutes les racines.

28. Soient maintenant les équations du troisième degré :

$\left[x+p-a-c\right]\left[x+2\right]\left[x+c\right]=0$

et

$\left[x+p-b-d\right]\left[x+b\right]\left[x+d\right]=0$

ou

$x^{3}+px^{2}+(ap+cp-a^{2}-ac-c^{2})x+acp-a^{2}c-ac^{2}=0$

et

$x^{3}+px^{2}+(bp+dp-b^{2}-bd-d^{2})x+bdp-b^{2}d-bd^{2}=0$

Pour que le troisième terme de la première soit égal au troisième terme de la seconde, il faut qu’on ait :

$ap+cp-a^{2}-ac-c^{2}=bp+dp-b^{2}-bd-d^{2}$

ce qui donne ;

$p={\frac {a^{2}+ac+c^{2}-b^{2}-bd-d^{2}}{a+c-b-d}}$

Cette valeur étant substituée dans les équations primitives, on a ;

$\left.{\begin{array}{cc}x^{3}+{\frac {a^{2}+ac+c^{2}-b^{2}-bd-d^{2}}{a+c-b-d}}x^{2}+\\{\frac {(a^{2}+ac+c^{2})(b+d)-(b^{2}+bd+d^{2})(a+c)}{a+c-b-d}}x+{\frac {ac\left[(b+d)(a+c-b-d)-ac+bd\right]}{a+c-b-d}}\\\end{array}}\right\}=0$

et

$\left.{\begin{array}{cc}x^{3}+{\frac {a^{2}+ac+c^{2}-b^{2}-bd-d^{2}}{a+c-b-d}}x^{2}+\\{\frac {(a^{2}+ac+c^{2})(b+d)-(b^{2}+bd+d^{2})(a+c)}{a+c-b-d}}x+{\frac {bd\left[(a+c)(a+c-b-d)-ac+bd\right]}{a+c-b-d}}\\\end{array}}\right\}=0$