40
FORMULES.
commensurables, on pourra, d’après la remarque du n.o précédent, les multiplier l’une par l’autre, et on retrouvera les équations K du n.o 14.
La seconde valeur de
conduirait aux mêmes équations, en changeant les signes de toutes les racines.
28. Soient maintenant les équations du troisième degré :
![{\displaystyle \left[x+p-a-c\right]\left[x+2\right]\left[x+c\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb0847b7a9ae700551dceb05eac1684d1325d1a)
et
![{\displaystyle \left[x+p-b-d\right]\left[x+b\right]\left[x+d\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82864cd961d74568ef4882fa519783b0050fcc6d)
ou
![{\displaystyle x^{3}+px^{2}+(ap+cp-a^{2}-ac-c^{2})x+acp-a^{2}c-ac^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07687becdfe935253db61ed8f45a5a0c7fec6273)
et
![{\displaystyle x^{3}+px^{2}+(bp+dp-b^{2}-bd-d^{2})x+bdp-b^{2}d-bd^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d65e0ce989e9ba3e85a0bd00f98d2282dc2fde)
Pour que le troisième terme de la première soit égal au troisième terme de la seconde, il faut qu’on ait :
![{\displaystyle ap+cp-a^{2}-ac-c^{2}=bp+dp-b^{2}-bd-d^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b6f0ba58730d4d0a950df4def5e701b2387337)
ce qui donne ;
![{\displaystyle p={\frac {a^{2}+ac+c^{2}-b^{2}-bd-d^{2}}{a+c-b-d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89e6a07373b9027c91a0f54ea9c301be93e94f7)
Cette valeur étant substituée dans les équations primitives, on a ;
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{cc}x^{3}+{\frac {a^{2}+ac+c^{2}-b^{2}-bd-d^{2}}{a+c-b-d}}x^{2}+\\{\frac {(a^{2}+ac+c^{2})(b+d)-(b^{2}+bd+d^{2})(a+c)}{a+c-b-d}}x+{\frac {ac\left[(b+d)(a+c-b-d)-ac+bd\right]}{a+c-b-d}}\\\end{array}}\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ece7b03921a365cb24bb7d24a95f28f5c1c7edd)
et
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{cc}x^{3}+{\frac {a^{2}+ac+c^{2}-b^{2}-bd-d^{2}}{a+c-b-d}}x^{2}+\\{\frac {(a^{2}+ac+c^{2})(b+d)-(b^{2}+bd+d^{2})(a+c)}{a+c-b-d}}x+{\frac {bd\left[(a+c)(a+c-b-d)-ac+bd\right]}{a+c-b-d}}\\\end{array}}\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954e815f46650f6e6f2041162d79d1c225c16101)