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LOGARITHMIQUES.

valeurs qu’on rend rationnelles, en faisant :

$a^{2}-ab+b^{2}=(b-\lambda )^{2}=b^{2}-2b\lambda +\lambda ^{2}$

ce qui donne :

$b=-{\frac {a^{2}-\lambda ^{2}}{2\lambda -a}}$

À l’aide de cette dernière expression, on parvient aisément aux équations :

$x^{3}-(a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2})^{2}x-2\lambda (a^{2}-\lambda ^{2})(2a-\lambda )(2\lambda -a)=0$

et

$x^{3}-(a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2})^{2}x+2\lambda (a^{2}-\lambda ^{2})(2a-\lambda )(2\lambda -a)=0$

ou

$\left[x-\lambda (2a-\lambda )\right]\left[x+2(2\lambda -a)\right]\left[x+(a^{2}-\lambda ^{2})\right]=0$

et

$\left[x+\lambda (2a-\lambda )\right]\left[x-2(2\lambda -a)\right]\left[x-(a^{2}-\lambda ^{2})\right]=0$

dont la résultante est :

$x\left[x+(a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2})\right]\left[x-(a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2})\right]=0$

Enfin, ces équations, étant multipliées l’une par l’autre, d’après la remarque du n.^o 26, donnent l’équation du sixième degré :

$\left.{\begin{array}{lc}x^{6}-&2(a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2})^{2}x^{4}+(a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2})^{4}x^{2}-a^{2}\lambda ^{2}(a^{2}-\lambda ^{2})^{2}(2a-\lambda )^{2}(2\lambda -a)^{2}=0\\{\text{ou}}&\\&x^{2}\left[x+(a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2})\right]^{2}\left[x-(a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2})\right]^{2}=0\\\end{array}}\right\}$Q

qui a pour résultante :

30. Nous ferons observer ici, 1.^o que les équations du troisième degré, qui nous ont donné l’équation Q, sont les mêmes que les équations F du n.^o 10 ; car il suffit, pour établir une parfaite identité entre elles, de changer $+\lambda {\text{ en}}-\lambda$, ce qui est permis, $\lambda$ étant une quantité indéterminée ; 2.^o qu’on peut encore obtenir l’équation Q par le moyen des équations E du n.^o 9, en changeant d’abord les signes