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FORMULES.

29. En prenant les signes supérieurs, on a :

$d={\frac {-4hab-2ka(a+b+h)}{h(k+h+2a}}={\frac {-4hab-4hak}{4ha}}=-b-k=-a$.

Cette valeur étant mise pour $d$ dans l’expression des valeurs de $c$ qui, par l’hypothèse, devient :

$c={\frac {hd^{2}-hkd-kab\pm (hd^{2}-hkd+2kad+kab)}{2(hd-ka}}$

on trouve :

$c={\frac {ha-hk-kb\pm (ha-hk-2ka+kb}{-4a}}$

d’où

$c={\frac {2ha-2ka}{-4a}}=-b$

et

$c={\frac {2hk+2ak-2kb}{-4a}}=-(a-b)$

Substituant ensuite l’une ou l’autre de ces valeurs de $c$, ainsi que la valeur de $d$ dans les équations O du numéro précédent, ces équations deviennent :

$\left.{\begin{array}{lr}&x^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})x+ab(a-b)=0\\{\text{et}}\qquad \qquad &\\&x^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})x-ab(a-b)=0\\{\text{ou}}\qquad \qquad &\\&\left[x-(a-b)\right]\left[x+2\right]\left[x-b\right]=0\\{\text{et}}\qquad \qquad &\\&\left[x+(a-b)\right]\left[x-2\right]\left[x+b\right]=0\\\end{array}}\right\}$P

Dans cet état, leur résultante commune a pour ses deux racines effectives :

$x=\pm {\sqrt {a^{2}-ab+b^{2}}}$