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FORMULES.

${\begin{array}{ll}\mathrm {-6L_{2}+2L_{3}-2L_{5}+6L_{7}\ -\ \ L_{13}-\ \ L_{17}+2L_{19}-\ \ L_{23}-\ \ L_{47}\cdots } &=2\mathrm {M} \left({\tfrac {1}{7644\,83201}}\ \ \ +{\text{etc.}}\right)\\\ \ \ \mathrm {6L_{2}+2L_{3}-\ \ L_{5}-\ \ L_{7}\ -\ \ L_{13}+2L_{17}-\ \ L_{23}-\ \ L_{29}-\ \ L_{37}+2L_{73}-\ \ L_{79}\cdots } &=2\mathrm {M} \left({\tfrac {1}{17741\,73311}}\ \ \ +{\text{etc.}}\right)\\\ \ \ \mathrm {2L_{2}-\ \ L_{3}-\ \ L_{7}\ -2L_{13}+2L_{17}+2L_{23}-\ \ L_{29}-\ \ L_{37}-\ \ L_{43}+2L_{59}\cdots } &=2\mathrm {M} \left({\tfrac {1}{42574\,30087}}\ \ \ +{\text{etc.}}\right)\\\mathrm {-3L_{2}+2L_{3}-2L_{5}+8L_{7}\ -3L_{11}+2L_{17}-\ \ L_{23}-\ \ L_{31}-\ \ L_{79}\cdots } &=2\mathrm {M} \left({\tfrac {1}{2\,99884\,94801}}\ \ +{\text{etc.}}\right)\\\mathrm {-7L_{2}-\ \ L_{3}-2L_{5}-2L_{7}\ +2L_{11}+2L_{13}+2L_{23}-\ \ L_{29}-\ \ L_{31}+2L_{41}-\ \ L_{43}\cdots } &=2\mathrm {M} \left({\tfrac {1}{3\,63685\,05601}}\ \ +{\text{etc.}}\right)\\\ \ \ \mathrm {2L_{2}-\ \ L_{3}+8L_{7}\ -\ \ L_{29}-\ \ L_{31}+2L_{41}-\ \ L_{47}-\ \ L_{59}-\ \ L_{71}-\ \ L_{73}\cdots } &=2\mathrm {M} \left({\tfrac {1}{7\,75250\,43847}}\ +{\text{etc.}}\right)\\\mathrm {-3L_{2}-2L_{3}-\ \ L_{7}\ -2L_{11}-2L_{13}-\ \ L_{17}+2L_{19}+2L_{23}-\ \ L_{31}+2L_{37}+2L_{43}-\ \ L_{89}\cdots } &=2\mathrm {M} \left({\tfrac {1}{96\,67924\,02577}}\ +{\text{etc.}}\right)\\\mathrm {-3L_{2}-\ \ L_{3}+2L_{5}+6L_{7}\ -2L_{11}-2L_{13}+2L_{15}-\ \ L_{29}+2L_{37}-\ \ L_{41}-\ \ L_{47}-\ \ L_{53}\cdots } &=2\mathrm {M} \left({\tfrac {1}{290\,71597\,32049}}+{\text{etc.}}\right)\\\ \ \ \mathrm {2L_{2}-3L_{3}+2L_{5}-\ \ L_{7}\ -2L_{11}-\ \ L_{13}-2L_{17}-\ \ L_{19}+2L_{23}-\ \ L_{29}-\ \ L_{53}+2L_{71}+2L_{97}} &=2\mathrm {M} \left({\tfrac {1}{501\,81753\,60199}}+{\text{etc.}}\right)\\\end{array}}$

La convergence des séries contenues dans ces équations est telle, que le cinquième terme de la première, qui est la moins rapide, n’influe que sur le 61.^me chiffre décimal, et le troisième terme de la dernière sur le 65.^me.

C’est par des moyens bien plus pénibles, qu’Abraham Sharp a calculé avec 61 chiffres décimaux, 1.^o les logarithmes de tous les nombres plus petits que 100, 2.^o les logarithmes de tous les nombres premiers depuis 100 jusqu’à 1100, 3.^o les logarithmes des quarante-un nombres compris depuis 999980 jusqu’à 1000020 inclusivement.

50. Après avoir montré, dans ce qui précède, comment on pourrait construire des tables de logarithmes à l’aide de la formule $\mathrm {U} ,$ il nous reste à donner un exemple des calculs qu’exigerait ce travail. Pour cela, supposons que, les logarithmes de tous les nombres premiers depuis 1 jusqu’à 1100 étant connus, on demande celui de 1297. En faisant $x-8=1297$, nous aurons $x=1305$ ; et la formule (en se bornant au seul premier terme de la série ) donnera :