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RÉSOLUES.
Soient
(fig. 2) deux droites données de grandeur ; on demande de couper ces droites l’une et l’autre en deux parties aux points
et
, de manière que les rectangles
et
soient l’un et l’autre donnés de grandeur ?
Soient
![{\displaystyle \mathrm {AX\times A'X'=AB\times A'} a'{\text{ et }}\mathrm {BX\times B'X'=AB\times B'} b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616c8a42f74ea63b649741f9d3cf7e0d366f72d2)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {AX:AB=A'} a':\mathrm {A'X'} {\text{ et }}\mathrm {BX:AB=B'} b':\mathrm {B'X'} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f4e41ecb6dd51b6ad1f1cdb6a2afca66214825)
donc
![{\displaystyle \mathrm {BX:AB} =a'\mathrm {X':A'X'} {\text{ et }}\mathrm {AX:AB} =b'\mathrm {X':B'X'} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194c52083999015312925496e8a04697e88c06a4)
donc aussi
![{\displaystyle a'\mathrm {X':A'X'=B'} b':\mathrm {B'X'} {\text{ et }}b'\mathrm {X':B'X'=A'} a':\mathrm {A'X'} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de18ecf505d29d1cabb070f489ca419bdb636a8f)
’
ce qui donne
![{\displaystyle a'\mathrm {X'} \times b'\mathrm {X'=A'} a'\times \mathrm {B'} b'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e07df115838542abd87584acfe6c821525abe0)
On connait donc la somme
des deux distances
et le rectangle de ces mêmes distances ; ainsi elles sont données de grandeur et conséquemment le point
est donné de position.
Remarque I. Pour fixer l’attention sur un cas déterminé, j’ai supposé que les positions des points donnés et des points cherchés sont respectivement
, et que les droites
sont données de grandeur de manière à répondre à cette supposition. Si l’on voulait faire rémunération de toutes les positions dont ces points sont susceptibles, il paraît d’abord qu’il y aurait neuf cas à examiner ; mais quelques-uns de ces cas rentreraient les uns dans les autres ; ils dépendraient de la grandeur des droites données
et des directions suivant lesquelles on les porterait depuis les points
et
La géométrie et l’algèbre indiquant la liaison qui règne entre ces différens cas, par les changemens de directions et de signes des lignes obtenues, j’ai cru devoir me borner à l’exposition sommaire de l’un de ces cas.
Remarque II. On obtient, comme il suit, la condition de possibilité du problème proposé :