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QUESTIONS

${\begin{aligned}a'b'^{2}&\geqq 4\mathrm {A} 'a'\times \mathrm {B} 'b',\\\left[\mathrm {A'B'} -(\mathrm {A} 'a'+\mathrm {B'} b')\right]^{2}&\geqq 4\mathrm {A} 'a'\times \mathrm {B'} b',\\\mathrm {A'B'} -(\mathrm {A} 'a'+\mathrm {B'} b')&\geqq 2{\sqrt {\mathrm {A} 'a'\times \mathrm {B'} b'}},\\\mathrm {A'B'} &\geqq \mathrm {A} 'a'+2{\sqrt {\mathrm {A} 'a'\times \mathrm {B'} b'}}+\mathrm {B'} b',\\{\sqrt {\mathrm {A'B'} }}&\geqq {\sqrt {A'a'}}+{\sqrt {\mathrm {B'} b'}}.\\\end{aligned}}$

LEMME II. Partager trois droites données de grandeur chacune en deux parties de manière que l’on connaisse de grandeur chacun des rectangles suivans : savoir, le rectangle d’une partie de la première par une partie de la seconde ; le rectangle de l’autre partie de la seconde par une partie de la troisième ; enfin le rectangle de l’autre partie de la troisième par l’autre partie de la première ?

Je vais montrer comment le problème proposé, sur trois droites, peut être ramené au problème correspondant sur deux droites seulement.

Soient $\mathrm {AB,A'B',A''B''}$ (fig.3), trois droites données de grandeur, à couper en $\mathrm {X,X',X'',}$ de manière que l’on connaisse de grandeur chacun des rectangles $\mathrm {AX\times A'X',\quad B'X'\times A''X'',\quad B''X''\times BX?}$

Soient

$\mathrm {AX\times A'X'=A'B'\times A} a{\text{ et }}\mathrm {B'X'\times A''X''=A'B'\times A''} a'',$

on aura

$\mathrm {AX:A} a=\mathrm {A'B':A'X'} {\text{ et }}\mathrm {A'B':B'X'=A''X'':A''} a'',$

donc

$\mathrm {AX} :a\mathrm {X=A'B':B'X'} {\text{ et }}\mathrm {A'B':A'X'=A''X''} :a\mathrm {''X''} ,$

et par conséquent

$\mathrm {AX} :a\mathrm {X=A''X'':A''} a''{\text{ et }}\mathrm {AX:A} a=\mathrm {A''X''} :a\mathrm {''X''} ,$

d’où résulte

$a\mathrm {X:A} a=\mathrm {A''} a'':a''\mathrm {X''} ,$