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QUESTIONS

en deux parties égales, en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$, et que la droite $\mathrm {BB} '$ soit donnée de grandeur ; on demande le quadrilatère.

L’application des propositions générales de la Polygonométrie m’a paru le moyen le plus convenable pour résoudre le problème proposé ; savoir, je vais chercher, au moyen de ces propositions, les angles en $\mathrm {B}$ et en $\mathrm {B} '$ que la droite $\mathrm {BB} '$ fait avec les côtés du quadrilatère dont elle joint les milieux.

Que dans le quadrilatère $\mathrm {ABB'A'}$ les angles extérieurs soient désignés par $\mathrm {B}$ et par $\mathrm {B} '~;$ dans le quadrilatère $\mathrm {CBB'C'}$ les angles extérieurs seront les supplémens des premiers.

Dans le quadrilatère $\mathrm {ABB'A'}$, on a l’équation

${\begin{aligned}\mathrm {AA'^{2}=AB^{2}+BB'^{2}+B'A'} ^{2}&+2\mathrm {AB\times BB'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B} ,\\&+2\mathrm {AB\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {(B+B')} ,\\&+2\mathrm {BB'\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B'} .\\\end{aligned}}$

Dans le quadrilatère $\mathrm {CBB'C'}$, en remarquant que $\mathrm {BC=AB}$ et que $\mathrm {B'C'=A'B'}$, on a l’équation

${\begin{aligned}\mathrm {CC'^{2}=AB^{2}+BB'^{2}+B'A'^{2}} &-2\mathrm {AB\times BB'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B} ,\\&+2\mathrm {AB\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {(B+B')} ,\\&-2\mathrm {BB'\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B'} .\\\end{aligned}}$

Ajoutant et retranchant successivement la seconde équation à la première, il viendra, en réduisant,

${\begin{aligned}\mathrm {AA'^{2}+CC'^{2}} &=2\mathrm {AB^{2}+2BB'^{2}+2B'A'^{2}+4AB\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {(B+B')} .\\\mathrm {AA'^{2}-CC'^{2}} &=4\mathrm {AB\times BB'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B+4BB'\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B'} .\\\end{aligned}}$

Ce qui donne

$\operatorname {Cos} \mathrm {(B+B')={\frac {AA'^{2}+CC'^{2}-2(AB^{2}+BB'^{2}+B'A'^{2})}{4AB\times B'A'}},}$

$\mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B+A'B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B'={\frac {{\frac {AA'+CC'}{2}}\times {\frac {AA'-CC'}{2}}}{BB'}}.}$

Par la première de ces équations, on connaît la somme des angles