et , par le cosinus de cette somme ; par la seconde on connaît la somme des produits des cosinus des mêmes angles par les droites données et . Partant, le problème est ramené à cet autre : trouver deux angles dont on connaît la somme, et la somme des produits de leurs cosinus par des droites données.
Remarque I. Lorsque et , on a aussi ; il vient conséquemment
donc la somme des angles et vaut deux droites, et conséquemment les droites et sont parallèles entre elles. Alors , et la seconde équation devient
d’où partant, l’angle est indéterminé, comme il doit l’être en effet.
Remarque II. Le problème : couper un angle donné en deux parties telles que la somme des produits de leurs cosinus par des droites données soit donnée de grandeur, peut être résolu de différentes manières, soit par l’algèbre soit par la géométrie. Le procédé suivant, fondé sur la doctrine des centres des moyennes distances, me paraît l’un des plus élégans.
Soit (fig. 6) un angle donné, on demande de le partager en deux parties , par une droite , de manière que les sommes de leurs cosinus, pour les rayons donnés de grandeur et , soient égales à une droite donnée de grandeur ?
Soit menée , laquelle soit coupée en deux parties égales, au point ; de ce point, comme centre, et avec un rayon égal à la moitié de la droite donnée, soit décrite une circonférence de cercle ; du sommet soit menée (s’il est possible) une tangente à ce cercle, et du point soit élevée à cette tangente une perpendiculaire ; cette perpendiculaire sera la droite qui divisera l’angle proposé dans les parties cherchées.
Pour que le problème soit possible, le point ne doit pas être au
