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RÉSOLUES.

les limites du problème sont données par celles de la réalité du radical^[1].

Construction géométrique du même problème ;

Par M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers.

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Problème. Construire un quadrilatère dans lequel on connaît les quatre côtés et la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés ?

Solution. Supposons que ce quadrilatère soit déjà construit et que ce soit le quadrilatère $\mathrm {ABCD}$ (fig. 9) dans lequel, outre les quatre côtés, on connaît la droite $\mathrm {EF}$ qui joint les milieux $\mathrm {E,F}$ des côtés opposés $\mathrm {AB,CD.}$ Soient $\mathrm {I,K}$ les milieux des deux autres côtés $\mathrm {BC,AD~;}$ soient menées les diagonales $\mathrm {AC,BD} ,$ dont les milieux soient $\mathrm {H,G~;}$ en exécutant les constructions indiquées dans la figure, on aura^[2] $\mathrm {EH=GF={\tfrac {1}{2}}AD,} \;$$\mathrm {HF=EG={\tfrac {1}{2}}BC} ,\;$$\mathrm {KH=GI={\tfrac {1}{2}}AB,} \;$$\mathrm {KG=HI={\tfrac {1}{2}}DC~;} \;$ le parallélogramme $\mathrm {EHFG} ,$ dans lequel on connaît, outre les côtés, la diagonale $\mathrm {EF} ,$ peut donc être construit ; sa construction fera connaître sa diagonale $\mathrm {HG} ,$ laquelle est aussi diagonale du parallélogramme $\mathrm {HKGI}$ dont on connaît, en outre, les côtés ; ce dernier parallélogramme peut donc aussi être construit, et conséquemment les points $\mathrm {I}$ et $\mathrm {K}$ peuvent être déterminés ; menant donc par $\mathrm {E,F,I,K,}$ des droites respectivement parallèles à $\mathrm {GI,GK,HF,GF,}$ ces droites, par leur rencontre, formeront le quadrilatère demandé.

Le parallélogramme $\mathrm {HKGI} ,$ tournant autour de celle $\mathrm {HG}$ de ses

1. On parvient encore assez facilement au but, en prenant l’un des côtés opposés du quadrilatère dont la distance des milieux est donnée pour axe des $x$ ; son milieu pour origine ; et en cherchant à déterminer la situation du milieu du côté opposé. Ce milieu est donné par l’intersection d’un cercle ayant son centre à l’origine avec une parabole ayant pour axe l’axe des $x$ ; ce qui conduit, par l’élimination, à une équation du quatrième degré se résolvant à la manière du second.
2. Voyez les pag. 313 et 353 du tom. 1.^er des Annales.
   (Note des éditeurs).