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RÉSOLUES.

droites à ces deux-là, en désignant par $m$ et $m'$ les tangentes tabulaires des angles que feront ces droites, d’un même côté, avec l’asymptote prise pour axe des $x$, on aura

$m={\frac {y-\beta }{x-\alpha }},\quad m'={\frac {y+\beta }{x+\alpha }}.$

Mais comme on a

$xy=A^{2},\quad \alpha \beta =A^{2},$

on a aussi

$xy=\alpha \beta ,{\text{ d’où }}y={\frac {\alpha \beta }{x}}~;$

donc

$m=-{\frac {\beta }{x}},\quad m'=+{\frac {\beta }{x}}~;$

et par conséquent

$m'=-m~;$

les angles formés d’un même côté avec l’asymptote par les deux droites, sont donc supplémens l’un de l’autre ; ces deux angles, pris de différens côtés, sont donc égaux.

Ainsi, Les droites qui vont d’un même point quelconque d’une hyperbole équilatérale aux deux extrémités d’un même diamètre transverse, sont également inclinées à l’une quelconque des asymptotes.

Passons actuellement aux démonstrations synthétiques. M. Raymond a déduit la sienne de ces deux propositions connues.

1.^o Dans l’ellipse et dans l’hyperbole, les deux cordes supplémentaires qui répondent à un même diamètre, indiquent, par leur direction, un système de diamètres conjugués.

2.^o Dans toute hyperbole, le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques, a ses diagonales dirigées suivant les asymptotes.

Il est évident en effet, par la première proposition, que les droites qui vont d’un point quelconque d’une hyperbole aux deux extrémités d’un même diamètre transverse, sont parallèles à deux autres diamètres conjugués l’un à l’autre ; ces droites sont donc, en vertu de la seconde proposition, parallèles aux droites qui joignent les milieux des côtés opposés d’un certain parallélogramme dont les diagonales se confondent