avec les asymptotes de l’hyperbole ; si donc cette hyperbole est équilatérale, ce parallélogramme ayant ses diagonales rectangulaires devient un rhombe ; les droites qui joignent les milieux de ses côtés opposés sont donc également inclinées à une quelconque des diagonales, c’est-à-dire, à une même asymptote ; il en doit donc être de même de deux parallèles à ces droites.
Quoique la première des deux propositions sur lesquelles M. Raymond ; fondé sa démonstration se trouve démontrée dans divers ouvrages élémentaires, on verra sans doute ici avec plaisir la démonstration très-simple qu’il en donne lui-même, et qui peut également être appliquée à l’ellipse.
Soient (fig. 10) l’une des branches d’une hyperbole, son centre, l’un quelconque de ses diamètres transverses, et des droites menées aux deux extrémités de ce diamètre, d’un point quelconque de la courbe ; si, par le centre , on mène des parallèles à et , coupant ces droites en et parce que est le milieu de , sera le milieu de ; le diamètre coupera donc en deux parties égales toutes les cordes parallèles à ; son conjugué sera donc parallèle à cette corde, et sera par conséquent .
Voici présentement la démonstration de M. Lhuilier.
« Soit le centre d’une hyperbole équilatère (fig. 11). Soit un diamètre transverse de cette hyperbole, dont les extrémités soient et . Soit un point de cette hyperbole auquel soient menées les droites . Par soit menée une droite parallèle à l’une des asymptotes ; et, sur cette droite, soient abaissées les perpendiculaires . J’affirme que les angles sont égaux entre eux.
» Soit, en effet, menée par l’autre asymptote, qui rencontre en la droite ; et sur , soient abaissées les perpendiculaires
» On a, par la propriété fondamentale de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes,
