il suit, que la proposition est vraie, dans le cas où le diamètre dont il s’agit est l’axe transverse lui-même.
Soient (fig. 14) le centre de l’hyperbole, son asymptote, son axe transverse, prolongé vers et les droites joignant les extrémités de cet axe à un point quelconque de la courbe, ces droites coupant l’asymptote en et ; soit enfin une perpendiculaire à l’axe, coupant l’asymptote en .
Dans l’hyperbole équilatérale, deux diamètres conjugués, et conséquemment deux cordes supplémentaires, terminées au premier axe, font d’un même côté avec cet axe des angles complément l’un de l’autre ; ainsi est complément de , et, comme l’est aussi, il en résulte que ces deux angles sont égaux ; mais, d’un autre côté, les angles et valent l’un et l’autre un angle droit et demi ; donc les triangles et sont semblables. On a donc .
Cela posé, soit un plan arbitraire passant par , et soit projetée la figure sur ce plan ; sa projection sera toujours une hyperbole équilatérale, ayant encore pour asymptote, mais dont la projection de ne sera plus l’axe, mais un diamètre transverse, lequel pourra être quelconque, à cause de l’indétermination du plan conduit par ; d’un autre côté, à cause de la situation arbitraire du point , les projections de et pourront, dans la nouvelle hyperbole, devenir des droites joignant un point quelconque de la courbe aux deux extrémités d’un diamètre transverse quelconque ; et, comme les projections des angles égaux et seront encore des angles égaux, il en résulte que la proposition aura encore lieu dans ce cas.
La démonstration mixte de M. Vecten, et celle de M. Fauquier élève du lycée de Nismes, consistent également à prouver d’abord, par l’analise, que les droites qui vont d’un point quelconque d’une hyperbole équilatérale aux deux extrémités d’un même diamètre transverse font, d’un même côté, avec le premier axe, des angles complément l’un de l’autre ; ce qui est évident, d’après ce qui précède, puisque ces droites sont respectivement parallèles à deux diamètres conjugués.
