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DES CORPS CÉLESTES.

(30) $X''={\frac {(y+\mathrm {Z} )\left\{(p'y''-q'x'')+(p'q''-q'p'')Z\right\}}{(p'y-q'x)}},$

Voilà donc $X,Y,X',Y',Z',X'',Y'',Z'',$ déterminés en fonction de $Z$ ; et il est essentiel de remarquer 1.^o que les valeurs de $X,Y,X',Y'$ sont complètes du premier degré en $Z$ ; 2.^o que celle de $Z'$, aussi du premier degré en $Z$ ne renferme point de terme sans $Z$ ; 3.^o que les valeurs de $X'',Y'',$ sont complètes du second degré ; 4.^o enfin que celle de $Z''$, aussi du second degré en $Z$, ne renferme point de terme sans $Z$.

IX. Il nous faut donc une équation de plus pour déterminer nos inconnues, et le principe de la gravitation donne, comme l’on sait,

$Z''^{2}(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})^{3}=\mu ^{2}Z^{2}~;$

équation dans laquelle $\mu$ a la même valeur que nous lui avons déjà assignée $\mathrm {(VII)}$. Faisant donc les substitutions et divisant par $Z^{2}$ il viendra

$(31)\quad \left\{(p'x''-q'x'')+(p'q''-q'p'')Z\right\}^{2}\left\{(x+pZ)^{2}+(y+qZ)^{2}+Z^{2}\right\},$

$=\mu ^{2}(p'y-q'x)^{2}.$

Cette équation semble devoir monter au 8.^me degré ; mais elle ne s’élève réellement qu’au 7.^me, comme nous allons le voir^[1].

Le dernier terme de cette équation est

$(p'y''-q'x'')^{2}(x^{2}-y^{2})^{3}-\mu ^{2}(p'y-q'x)^{2}~;$

mais, les lois du mouvement étant, pour la terre, les mêmes que pour l’astre observé, on a

$x''=-{\frac {\mu x}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac {1}{2}}}},\qquad y''=-{\frac {\mu y}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac {1}{2}}}}~;$

1. Cette équation équivaut à celle qui a été donnée par M. Laplace. Voyez la Mécanique céleste, tome 1.^er, page 209.