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DÉTERMINATION DES ORBITES

d’où

$p'x''-q'x''=-{\frac {\mu (p'x-q'y)}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac {1}{2}}}}~;$

ce qui donne, en quarrant, chassant le dénominateur et transposant,

$(p'x''-q'x'')^{2}(x^{2}+y^{2})^{3}-\mu ^{2}(p'y-q'x)^{2}=0~;$

d’où l’on voit en effet que, le dernier terme de l’équation (31) étant zéro, elle ne doit s’élever seulement qu’au septième degré.

Cette équation étant résolue, on en déduira les valeurs de $Z',X,X',Y,Y',$ comme ci-dessus, et on achèvera absolument le calcul comme il a été indiqué dans la première partie.

X. Nous allons montrer maintenant comment le problème se simplifie dans les cas les plus ordinaires, c’est-à-dire, dans les cas d’une très-grande ou d’une très-petite excentricité.

Supposons, en premier lieu, que le demi-grand axe soit assez grand pour pouvoir sensiblement être supposé infini, ou, ce qui revient au même, supposons que l’astre observé soit une comète ; d’après l’expression que nous avons donnée du demi-grand axe, nous aurons alors

$(32)\qquad \qquad \qquad 2\mu =R(X'^{2}+Y'^{2}+Z'^{2})~;$

ce qui donnera, en quarrant et introduisant la valeur de $R^{2}$, en $X,Y,Z,$

$(33)\qquad \qquad \quad 4\mu ^{2}=(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})(X'^{2}+Y'^{2}+Z'^{2})^{2}.$

Il est aisé de voir que la substitution des valeurs de $X,Y,X',Y',Z',$ ne fera monter cette équation, en $Z'$, qu’au 6.^me degré seulement^[1] ; mais ce n’est pas la plus simple que l’on puisse employer, dans ce cas, pour parvenir à la solution du problème.

On a, en effet, par le principe de la gravitation, ainsi que nous l’avons déjà rappelé,

1. Cette équation équivaut à celle qu’a donné M. Laplace. Voyez la Mécanique céleste, tome 1.^er, page 216.