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DE MALFATTI.

On pourrait parvenir à s’assurer de l’exactitude des valeurs que j’ai assignées à $r,r',r'',$ en posant

${\begin{aligned}2{\sqrt {r'r''}}&=\lambda (R+d-\rho ),\\2{\sqrt {r''r}}&=\lambda '(R+d-\rho ')~;\\\end{aligned}}$

et prouvant, par la substitution dans les équations du problème qu’on doit avoir $\lambda =\lambda '=\lambda ''=1~;$ mais, outre que cette vérité ne pourrait être mise en évidence que par un calcul assez prolixe ; il resterait toujours à savoir ce qui a pu conduire à poser les équations ci-dessus, de manière qu’on ne ferait par là que reproduire, sous une autre forme, la vérification que vous avez présentée vous-mêmes, Messieurs, à la page 61 du tome II de votre recueil.

Je n’ajouterai plus qu’un mot : d’après les valeurs que j’ai assignées ci-dessus à $r,r',r'',$ on a

${\frac {r'}{r}}={\frac {a^{2}}{a'^{2}}},\quad {\frac {r''}{r}}={\frac {a^{2}}{a''^{2}}},$

mais, à la page 346 du tome I, vous avez fait, Messieurs,

$r'=rx'^{2},\quad r''=rx''^{2},$

d’où

${\frac {r'}{r}}=x'^{2},\quad {\frac {r''}{r}}=x''^{2}~;$

donc

$x'={\frac {a}{a'}}={\frac {R+d-\rho }{R+d'-\rho '}},\quad x''={\frac {a}{a''}}={\frac {R+d-\rho }{R+d''-\rho ''}}~;$

ce qui donne

${\frac {x'}{x''}}={\frac {R+d''-\rho ''}{R+d'-\rho '}}~;$