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PROBLÈME


valeurs incomparablement plus simples, et peut-être tout aussi faciles à construire que celles de Malfatti ; puisque les longueurs sont données immédiatement par la construction de la figure[1].

Si l’on suppose admises les équations ou, ce qui revient au même, les équations  ; les équations du problème deviendront les équations  ; et en retranchant successivement chacune de ces dernières de la somme des deux autres, on en déduira les formules de Malfatti. Le problème ne sera ainsi que du premier degré.

On voit donc combien la solution de ce problème deviendrait facile, si l’on pouvait parvenir à démontrer, a priori, que les droites sont respectivement égales aux droites  ; ou simplement que c’est sur ce point capital que j’ai cru, Messieurs, devoir appeler l’attention de vos lecteurs.

  1. Nous placerons ici une remarque qui peut souvent être d’une utile application.

    Le problème dont il s’agit ici, s’élève naturellement au 8.e ou tout au moins au 4.e degré, du moins tant qu’on n’emploie d’autres données que les trois côtés du triangle proposé. Voilà pourtant des valeurs rationnelles extrêmement simples ; mais, sous leur simplicité apparente, elles renferment implicitement les diverses solutions qu’en général le problème peut admettre. Les quantités sont en effet des fonctions de et ces dernières prennent diverses valeurs suivant qu’on les rapporte au cercle inscrit, proprement dit, ou qu’on les considère par rapport à chacun des trois cercles exinscrits.

    Il en doit toujours être de même ; c’est-à-dire, qu’en général un problème susceptible d’un grand nombre de solutions, ne peut être que d’un degré élevé, tant qu’on n’y emploie que des données invariables ; et qu’on ne doit espérer de l’abaisser à un degré inférieur, qu’en substituant à ces données d’autres données dont les valeurs ne soient pas les mêmes pour les diverses solutions dont ce problème est susceptible.

    Il a souvent été remarqué qu’un heureux choix d’inconnues pouvait simplifier d’une manière notable la solution des problèmes ; mais il n’avait pas été observé jusqu’ici, que des données choisies convenablement peuvent procurer le même avantage.

    (Note des éditeurs.)