Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/196

186

QUESTIONS

duit continuel des nombres naturels depuis l’unitè jusqu’à l’exposant $m$.

Cette proposition appartient à la doctrine des différences finies, qui sert d’introduction aux calculs supérieurs. Je l’ai démontrée dans mon ouvrage intitulé : Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris. En travaillant de nouveau ce sujet, à l’occasion de la demande faite dans les Annales, j’ai établi la loi générale des différences de tous les ordres des puissances semblables des termes successifs d’une progression arithmétique. Le théorème proposé devient ainsi un cas très-particulier de cette doctrine générale.

§. 1.

Pour abréger et pour faciliter le développement de ce sujet, je vais d’abord établir quelques symboles.

Je désignerai par $\int \cdot P_{1},\int \cdot P_{2},\int \cdot P_{3},\int \cdot P_{4},\ldots \int \cdot P_{n-1},\int \cdot P_{n},$ les sommes des produits de $1,2,3,4,\ldots n-1,n,$ dimensions, faits avec des lettres proposées et leurs puissances.

Les lettres proposées étant $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},$ la somme des produits de $n$ dimensions, faits avec ces lettres déterminées, sera exprimée comme il suit $\int \cdot P_{n}\cdot A_{1},\ldots A_{4}.$

Que les lettres qui composent ces produits soient au nombre de deux seulement ; on conservera cette symbolisation, en supprimant les points mis entre ces lettres. Ainsi l’expression $\int \cdot P_{n}\cdot A_{1}A_{4}$ est celle de la somme des produits de $n$ dimensions, faits avec les deux lettres $A_{1}$ et $A_{4}$^[1].

§. 2.

Sur les différences premières.

Soient $A$ et $A'$ ; deux termes successifs d’une progression arithmétique, des termes de laquelle on prend les m.^emes puissances ; et les différences premières de ces m.^emes puissances : on aura

1. Ces sortes de fonctions ont déjà été considérées d’une manière spéciale par M. de Wronski ; (Voy. son Introduction à la philosophie des mathématiques,