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RÉSOLUES.

respectivement, leurs expressions les plus simples seront les suivantes :

$\Phi =P\cdot {\frac {pq}{fq}},\quad \Phi '=P\cdot {\frac {pq'}{f'q'}},\quad \Phi ''=P\cdot {\frac {pq''}{f''q''}}\,;$

ce sont aussi celles qu’adopte M. Rochat ; mais M. Encontre remarque qu’à cause des triangles de même base, en désignant par $T$ l’aire du triangle $ff'f'',$ et par $t,t',t'',$ les aires respectives des triangles $f'pf'',f''pf,fpf',$ on a

${\frac {pq}{fq}}={\frac {t}{T}},\quad {\frac {pq'}{f'q'}}={\frac {t'}{T}},\quad {\frac {pq''}{f''q''}}={\frac {t''}{T}}\,;$

d’où résulte

$\Phi =P\cdot {\frac {t}{T}},\quad \Phi '=P\cdot {\frac {t'}{T}},\quad \Phi ''=P\cdot {\frac {t''}{T}}\,;$

et conséquemment

$\Phi :\Phi ':\Phi ''::t:t':t''.$

I. Ces préliminaires établis, si le point $p$ est donné, et qu’on demande la plus grande valeur qu’il soit possible de donner à P, cette valeur sera limitée par les trois inégalités

$\Phi <F,\quad \Phi '<F',\quad \Phi ''<F''\,;$

ou

$P\cdot {\frac {t}{T}}<F,\quad P\cdot {\frac {t'}{T}}<F',\quad P\cdot {\frac {t''}{T}}<F'',$

ou encore

$P<F\cdot {\frac {T}{t}},\quad P<F'\cdot {\frac {T}{t'}},\quad P<F''\cdot {\frac {T}{t''}},$

le signe $<$ n’excluant pas l’égalité, et deux de ces inégalités étant nécessairement comportées par la troisième. Ainsi il faudra prendre $P$ égal à la plus petite des trois quantités