Pour suivre donc, dans cette recherche d’analise, la méthode généralement admise aujourd’hui, on est d’abord obligé de déterminer quelques formules appartenant à la théorie des permutations et des combinaisons. On forme ensuite divers produits de facteurs binômes ayant tous le même premier terme : un examen attentif de ces produits conduit bientôt à faire soupçonner une loi générale à laquelle, paraissent devoir être assujettis, quel que soit le nombre de leurs facteurs ; et l’on parvient en effet à justifier, par un raisonnement rigoureux, cet aperçu fourni par la simple induction. Supposant enfin que les seconds termes des facteurs multipliés deviennent égaux, et faisant subir au résultat d’abord obtenu les modifications qu’entraîne cette circonstance, on arrive ainsi à la formule de Newton, de laquelle on peut déduire ensuite l’expression du terme général du développement d’une puissance quelconque d’un polynôme ; alors, seulement, on se trouve en état d’écrire ce développement tout réduit.
Cette marche d’ailleurs très-rigoureuse, est, comme on le voit, assez longue et peu naturelle ; car, outre qu’il semble plus direct et plus élégant de considérer les binômes comme des cas particuliers des polynômes, que de déduire des premiers ce qui est relatif aux derniers, la supposition de l’inégalité des seconds termes des binômes que l’on multiplie, supposition tout-à-fait étrangère à la question, ne peut tendre qu’à en compliquer la solution ; puisqu’en général le résultat d’un calcul est d’autant plus compliqué qu’il y entre un plus grand nombre d’élémens inégaux. Aussi arrive-t-il que, dans la plupart des traités d’algèbre, la formation des puissances et l’extraction des racines des polynômes, au lieu de suivre immédiatement leur multiplication et leur division, comme la filiation des idées semblerait l’exiger, sont présentées beaucoup plus loin, parce qu’on les fait dépendre de la formule du Binôme de Newton dont, à raison des
tiel d’Euler, traduction de M. Labey. Voy. aussi le Calcul des fonctions de M. Lagrange, leçon III.e
