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DES POLYNOMES.
tivement, se réduiront à un mot unique : or, il y aura autant de ces mots, pour un arrangement donné des lettres demeurées inégales, qu’il y a de manières de permuter entre elles les lettres qu’on suppose être devenues égales ; mais ce nombre est, d’après ce qui pré-
![{\displaystyle b.c\ldots \ldots g.h.k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a36fb0f9e2debd94268452e3d710860c76ca4d)
![{\displaystyle a.c\ldots \ldots g.h.k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e40ca89a3a56e73c362aa8fea2d0aa1ed9df2f4)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fa366291df73439089a66663a3424eefed308a)
![{\displaystyle a.b.c\ldots \ldots g.k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a1e2cb3faff767d3a41d729d176457e79961f2)
![{\displaystyle a.b.c\ldots \ldots g.h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17ece96e96c49ad0f6e48f1ef5a1cd746ee5065)
lesquels devaient se trouver, une fois chacun, parmi ceux dont il a été question ci-dessus ; puis donc qu’on a dû introduire la lettre
à son tour dans le premier, la lettre
à son tour dans le second, et ainsi de suite, on a dû former
fois le produit
et on en peut dire autant de chacun des autres.
D’après ces considérations, on doit avoir, entre
et
la relation suivante
![{\displaystyle nP=(m-n+1)P_{n-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0157d08f026b98fc80239e2b742087f11b4ac6b8)
et, comme cette relation est indépendante de la grandeur de
, on peut écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}nP_{n}&=(m-n+1)P_{n-1},\\(n-1)P_{n-1}&=(m-n+2)P_{n-2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\2P_{2}&=(m-1)P_{1},\\1P_{1}&=m\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33edd531cbd3f0188d953bf38cbfc3ac137a82d)
d’où on conclura, sur-le-champ, par la multiplication et la suppression des facteur communs aux deux membres de l’équation produit,
![{\displaystyle 1.2.3\ldots nP_{n}=m(m-1)(m-2)\ldots (m-n+1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a455ee6208174e0008c78703600847896a4daa)
et par conséquent
![{\displaystyle P_{n}={\frac {m}{1}}{\frac {m-1}{2}}{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6274c10ccd3ebb197d9857380b9fd63f2de8fd)