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DES POLYNOMES.

tivement, se réduiront à un mot unique : or, il y aura autant de ces mots, pour un arrangement donné des lettres demeurées inégales, qu’il y a de manières de permuter entre elles les lettres qu’on suppose être devenues égales ; mais ce nombre est, d’après ce qui pré-

$b.c\ldots \ldots g.h.k,$
$a.c\ldots \ldots g.h.k,$
$\ldots \ldots \ldots ,$
$a.b.c\ldots \ldots g.k,$
$a.b.c\ldots \ldots g.h\,;$

lesquels devaient se trouver, une fois chacun, parmi ceux dont il a été question ci-dessus ; puis donc qu’on a dû introduire la lettre $a$ à son tour dans le premier, la lettre $b$ à son tour dans le second, et ainsi de suite, on a dû former $n$ fois le produit $a.b.c\ldots g.h.k,$ et on en peut dire autant de chacun des autres.

D’après ces considérations, on doit avoir, entre $P_{n}$ et $P_{n-1},$ la relation suivante

$nP=(m-n+1)P_{n-1}\,;$

et, comme cette relation est indépendante de la grandeur de $n$, on peut écrire

${\begin{aligned}nP_{n}&=(m-n+1)P_{n-1},\\(n-1)P_{n-1}&=(m-n+2)P_{n-2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\2P_{2}&=(m-1)P_{1},\\1P_{1}&=m\,;\\\end{aligned}}$

d’où on conclura, sur-le-champ, par la multiplication et la suppression des facteur communs aux deux membres de l’équation produit,

$1.2.3\ldots nP_{n}=m(m-1)(m-2)\ldots (m-n+1),$

et par conséquent

$P_{n}={\frac {m}{1}}{\frac {m-1}{2}}{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}.$