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PUISSANCES

cède, $1.2.3\ldots \alpha ,$ et doit conséquemment, dans le cas présent, devenir diviseur de la formule ci-dessus ; et, comme le même raisonnement est applicable à tout autre groupe de lettres devenues pareilles, on peut établir généralement que, si l’on a $\alpha$ lettres pareilles à $a,\;\beta$ lettres pareilles à $b,\;\gamma$ lettres pareilles à $c$, et ainsi de suite, de manière qu’on ait $\alpha +\beta +\gamma +\ldots =m,$ le nombre des divers arrangemens dont ces $m$, lettres seront susceptibles, aura pour expression

$\mathrm {(A)} \qquad {\frac {1.2.3\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (m-1)m}{1.2\ldots \alpha \times 1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times \ldots }}\,;$

c’est là, par exemple, le nombre qui exprime de combien de manières différentes on peut écrire, les uns à côté des autres, les facteurs du monôme

$a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots \,;$

si toutefois on a $\alpha +\beta +\gamma +\ldots =m.$

III. Ces préliminaires établis, qu’il soit question d’assigner la forme du développement de $(a+b+c+\ldots +r)^{m}$ ou plutôt celle de son terme général ; le moyen le plus naturel de parvenir à ce développement, si l’indétermination tant de $m$ que du nombre des termes de la racine ne le rendait impraticable, serait de multiplier le polynôme $a+b+c+\ldots +r$ par lui-même $m-1$ fois. Concevons néanmoins que l’on procède de cette manière ; mais que, pour éviter des rédactions qui ne laisseraient, dans les coefficiens des termes réduits, aucune trace de leur origine, on convienne, dans le cours des multiplications de monome à monome qui doivent conduire au dernier résultat, d’écrire constamment la lettre multiplicateur à la droite du terme multiplicande, tout comme on le ferait si les exposans n’étaient pas d’usage, et qu’en outre on ignorât qu’il est permis, dans une multiplication, d’intervertir à volonté l’ordre des facteurs^[1]. Alors, comme on n’exécutera aucune réduction, il est

1. Je dois la première idée de ce moyen de démonstration à M. Lavernède qui, depuis long-temps, en fait usage pour parvenir à la formule du Binome.