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DES POLYNOMES.

à chacun des produits obtenus le coefficient que lui assigne la règle prescrite (2).

Cette règle étant générale, et le premier terme du développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m}$ étant toujours connu et égal à $a^{m}\,;$ il est évident que son application fera trouver successivement tous les autres ; elle suffira donc pour développer $(a+b+c+d+\ldots )^{m}$ en une suite de monomes.

4. Examinons présentement, d’une manière plus particulière, la loi que suivra le développement ; et, pour cela, considérons un produit quelconque $b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots a^{m-\beta -\gamma -\delta -\ldots }$ dans lequel, $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ étant des nombres entiers ou zéro, on ait $\beta +\gamma +\delta +\ldots \leqq m.$ Si nous supposons la somme $\beta +\gamma +\delta +\ldots$ constante et égale à $n$, quelles que soient d’ailleurs les valeurs particulières des exposans $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots \,;$ il est visible que $b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots a^{m-n}$ sera l’expression générale des produits des lettres $a,b,c,\ldots$ qui doivent entrer dans le terme du développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m}$ dont le rang est désigné par $\beta +\gamma +\delta +\ldots +1$ ou $n+1$. Or, nous avons vu (2) que le coefficient de $b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots a^{m-n}$ est

${\frac {1.2.3\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (m-2)(m-1)m}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots \times 1.2\ldots (m-n)}},$

ou ce qui revient au même

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (n+1)n(n-1)\ldots 3.2.1}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots \times 1.2\ldots (m-n)}},$

ou encore

${\frac {n(n-1)(n-2)\ldots 3.2.1}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}\times {\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (n+1)}{1.2.3\ldots (m-n)}},$

et, comme on a évidemment

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (n+1)}{1.2.3\ldots (m-n)}}={\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-n+1)}{1.2.3\ldots n}},$

on pourra écrire encore

${\frac {n(n-1)(n-2)\ldots 3.2.1}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}\times {\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-n+1)}{1.2.3\ldots n}}\,;$