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AUX SECTIONS CONIQUES.

tant, le point d’intersection de ces deux droites décrira une section conique concentrique à l’ellipse proposée, et dont les axes auront mêmes directions que ceux de cette ellipse.

En général cette section conique sera une ellipse ou une hyperbole, suivant que le produit constant sera négatif ou positif. Dans l’un et dans l’autre cas, le rapport des deux axes de la section conique sera la racine quarrée du produit constant.

Si à l’ellipse qui a pour équation

$y^{2}+aa'x^{2}=B^{2}+aa'A^{2}\,;$

et dont les axes $2A'$ et $2B'$ sont conséquemment déterminés par les équations

$A'^{2}={\frac {B^{2}+aa'A^{2}}{aa'}},\quad B'^{2}=B^{2}+aa'A^{2}\,;$

si à cette ellipse, disons-nous, on mène deux tangentes de manière que le produit $aa'$ conserve la même valeur que précédemment et soit négatif, la courbe décrite par ces nouvelles tangentes sera une troisième ellipse dont les axes $2A'',2B''$ seront déterminés par les équations

$A''^{2}={\frac {B'^{2}+aa'A'^{2}}{aa'}},\quad B''^{2}=B'^{2}+aa'A'^{2}\,;$

mettant pour $B'^{2}$ et $A'^{2}$ leurs valeurs déjà déterminées, il viendra

$A''^{2}={\frac {2\left(B^{2}+aa'A^{2}\right)}{aa'}}=2A'^{2},\quad B''^{2}=2\left(B^{2}+aa'A^{2}\right)=2B'^{2}.$

Si, en observant les mêmes conditions, on cherche le lieu de l’intersection des deux tangentes menées à cette troisième ellipse, on en déterminera une quatrième dont les axes $2A''',2B'''$ seront donnés par les équations

$A'''^{2}=2A''^{2},\quad B'''^{2}=2B''^{2},$

et ainsi de suite : on aura donc

${\sqrt {aa'}}={\frac {B'}{A'}}={\frac {B''}{A''}}={\frac {B'''}{A'''}}=\ldots \,;$

ce qui donne lieu à ce théorème.