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AUX SECTIONS CONIQUES.

tes mobiles est une hyperbole équilatérale dont les axes sont égaux à la distance entre les foyers de l’ellipse.

Soit 3.^o $aa'=-{\frac {B^{2}}{A^{2}}}$ l’équation (M) deviendra

$A^{2}y^{2}+B^{2}x^{2}=2A^{2}B^{2}\,;$

on aura donc une ellipse dont les demi-axes seront $A{\sqrt {2}},B{\sqrt {2}}\,;$ et, comme ${\frac {B{\sqrt {2}}}{A{\sqrt {2}}}}={\frac {B}{A}}$ et $\left(A{\sqrt {2}}\right)^{2}=2A^{2},$ cette ellipse sera semblable à la première, et son aire sera double de la sienne ; la condition $aa'=-{\frac {B^{2}}{A^{2}}}$ convenant d’ailleurs aux cordes supplémentaires de l’ellipse proposée, on en peut conclure ce théorème :

THÉORÈME. Si deux droites mobiles, continuellement tangentes à une même ellipse, sont constamment parallèles à deux cordes supplémentaires de cette ellipse, le lieu géométrique de l’intersection de ces deux tangentes sera une autre ellipse, concentrique et, semblable à la première, ayant ses axes dans la même direction et dont l’aire sera double de la sienne^[1].

Soit 4.^o $aa'=+{\frac {B^{2}}{A^{2}}}$ ; l’équation (M) donnera

$y=\pm {\frac {B}{A}}x\,;$

c’est-à-dire, qu’on aura alors, pour le lieu géométrique cherché, les diagonales du rectangle des axes.

Si, dans tout ce qui précède, on change $B$ en $B{\sqrt {-1}},$ la courbe primitive sera une hyperbole, et on pourra établir, pour cette courbe, des théorèmes analogues aux précédents.

Enfin, en appliquant le même procédé à la parabole, on parvient à ce théorème.

THÉORÈME. Si deux droites mobiles, touchant continuellement

1. Ce théorème est un corollaire du deuxième de ceux qui précèdent.