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INDÉTERMINÉE.

$\left.{\begin{aligned}x_{n-1}&=+\alpha _{n-1}b-a_{n-1}x_{n},\\x_{n-2}&=-\alpha _{n-2}b-a_{n-2}x_{n},\\x_{n-3}&=+\alpha _{n-3}b-a_{n-3}x_{n},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\x_{2}&=\pm \alpha _{2}b\mp a_{2}x_{n},\\x_{1}&=\mp \alpha _{1}b\pm a_{1}x_{n},\\x&=\pm \alpha \mp ax_{n}\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(E)}$

équations dans lesquelles il faudra prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs, suivant que $n$ sera impair ou pair. Cette remarque s’étendant également à tout ce qui a suivre, nous nous dispenserons de la répéter.

Pour calculer rapidement les valeurs des inconnues $x_{1}$ et $x$, on cherchera d’abord les quotiens $q_{1},q_{2},q_{3},\ldots q_{n}=a_{n-1}$ on écrira ensuite $\alpha _{n-1}$ ou 1 sous le quotient $q_{n-1}$ ; on multipliera $q_{n-1}$ par 1 et l’on aura $\alpha _{n-2}$ qu’on écrira sous $q_{n-2}$ ; on multipliera $q_{n-2}$ par $\alpha _{n-2}$, au produit on ajoutera $\alpha _{n-1}$ ou 1, et l’on aura $\alpha _{n-3}$ qu’on écrira sous $q_{n-3}$ ; on multipliera $q_{n-3}$ par $\alpha _{n-3}$, au produit on ajoutera $\alpha _{n-2}$, et l’on aura $\alpha _{n-4}$,: on continuera ainsi jusqu’à ce qu’on soit parvenu à $\alpha _{1}$ et $\alpha$.

Nous ne répéterons pas ici les remarques connues, sur les diverses valeurs qu’on peut obtenir pour $x$ et $x_{1}$ ; nous observerons seulement que, bien que le nombre entier $x_{n}$ puisse être pris à volonté ; il est néanmoins compris entre certaines limites, déterminées par la condition que $x$ et $x_{1}$ soient des nombres entiers positifs ; il faudra donc qu’on ait généralement.

$x_{n}\left\{{\begin{array}{ll}<&{\frac {\alpha b}{a}},\\>&{\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}},\\\end{array}}\right\}{\text{si}}\;n\;{\text{est impair,}}$