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DE L’ELLIPSE.

les diagonales du rectangle circonscrit dont les côtés sont parallèles aux deux axes.

8. Soit circonscrit à l’ellipse un parallélogramme dont les côtés soient parallèles à deux diamètres conjugués ; ce parallélogramme sera (5) la projection d’un quarré circonscrit au cercle. L’aire de ce quarré étant $4a^{2},$ celle du parallélogramme sera $4^{2}\operatorname {Cos} .\theta =4ab=2a.2b.$

Ainsi, Tous les parallélogrammes circonscrits à l’ellipse, de manière que leurs côtés soient parallèles à deux diamètres conjugués, sont équivalens entre eux et au rectangle construit sur ses deux axes.^[1]

9. Soit $2a'$ un diamètre quelconque de l’ellipse, projection d’un diamètre da cercle faisant un angle $\epsilon$ avec le diamètre de ce cercle perpendiculaire au grand axe ; soit $x$ l’abscisse commune au cercle et à l’ellipse répondant à l’extrémité du diamètre $2a'$ , et soient enfin $y$ l’ordonnée de l’ellipse et $y'$ l’ordonnée, dti cercle répondant à cette même extrémité, on aura

x=a\operatorname {Sin} .\epsilon ,\quad y'=a\operatorname {Cos} .\epsilon ,\quad y=y'\operatorname {Cos} .\theta ,

donc

a'^{2}=x^{2}+y^{2}=a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\epsilon +y'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\theta =a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\epsilon +a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\epsilon \operatorname {Cos} .^{2}\theta \,;

c’est-à-dire,

a'^{2}=a^{2}\left(\operatorname {Sin} .^{2}\epsilon +\operatorname {Cos} .^{2}\epsilon \operatorname {Cos} .^{2}\theta \right).

Si, ayant ensuite mené dans le cercle un diamètre perpendiculaire au premier, ou désigne par $2b'$ sa projection sur l’ellipse, laquelle sera le conjugué du diamètre $2a'$ , on trouvera, par des considérations semblables,

↑ Il faut bien se garder de dire, comme on le trouve dans quelques traités élémentaires, que tous les parallélogrammes circonscrits à une même ellipse sont équivalens. Loin que cette proposition soit vraie, on peut toujours se proposer de circonscrire à une ellipse donnée un parallélogramme dont l’aire et les angles soient donnés.

[1] Il faut bien se garder de dire, comme on le trouve dans quelques traités élémentaires, que tous les parallélogrammes circonscrits à une même ellipse sont équivalens. Loin que cette proposition soit vraie, on peut toujours se proposer de circonscrire à une ellipse donnée un parallélogramme dont l’aire et les angles soient donnés.

[1]