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QUESTIONS

être nul, pour que le volume d’eau réellement évacué soit compris entre ces deux-là ; c’est-à-dire, pour que la fonction $\mathrm {(B)}$ soit comprise entre les fonctions $\mathrm {(C)}$ et $\mathrm {(D)}$ et qu’alors il en sera de même pour toutes les valeurs de $i$ inférieures à celle-là ; on doit donc avoir, rigoureusement en vertu d’un théorème connu^[1]

$-b.{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=vz,$

c’est-à-dire

${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {v}{b}}z.$^[2]$\qquad \mathrm {(E)}$

4. Si l’on fait $z=e^{\varkappa },$ d’où ${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=e^{\varkappa }{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}},$ il viendra, en substituant et divisant par $z=e^{\varkappa }$

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {v}{b}},$

d’où

$x=T-{\frac {v}{b}}t,$

$T$ étant une constante arbitraire. On aura donc

$z=e^{T-{\frac {v}{b}}t}\,;\qquad \mathrm {(F)}$

au bout du temps $t+i,\ z$ sera donc devenu

$e^{T-{\frac {v}{b}}(t+i)}=e^{T-{\frac {v}{b}}t}\times e^{-{\frac {v}{b}}i}=z.e^{-{\frac {v}{b}}i},$

c’est-à-dire

$z-{\frac {v}{b}}z{\frac {i}{1}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}z{\frac {i^{2}}{1.2}}-\ldots \qquad \mathrm {(G)}$

1. Voyez le Calcul des dérivations d’Arbogast, note de la préface, page XIV. Voyez aussi le Traité de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix, deuxième édition, tome 1.^er, introduction, page 65.
2. On parvient à ce résultat d’une manière moins rigoureuse, à la vérité, quant au langage, mais beaucoup plus courte, en remarquant que $vz\mathrm {d} t$ et $-b\mathrm {d} z$ ne sont que deux expressions différentes du volume de liquide évacué durant l’instant $\mathrm {d} t$.