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QUESTIONS

de manière que ce liquide se fût trouvé, à l’époque $t$, à une hauteur

$z'+{\frac {v}{b'}}z{\frac {i}{1}}-{\frac {v^{2}}{bb'}}z{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots$

sa hauteur à l’époque $t+i$ eût donc été dans cette hypothèse $\mathrm {(G)}$

$\left(z'+{\frac {v}{b'}}z{\frac {i}{1}}-{\frac {v^{2}}{bb'}}z{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots \right)-{\frac {v'}{b'}}\left(z'+{\frac {v}{b}}z{\frac {i}{1}}-\ldots \right){\frac {i}{1}}$

$+{\frac {v'^{2}}{b'^{2}}}\left(z'+\ldots \right){\frac {i^{2}}{1.2}}-\ldots$

c’est-à-dire,

$z'+\left({\frac {v}{b'}}z-{\frac {v'}{b'}}z'\right){\frac {i}{1}}+\left({\frac {v'^{2}}{b'^{2}}}z'-{\frac {v^{2}}{bb'}}z-2{\frac {vv'}{bb'}}z\right){\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots \qquad \mathrm {(M)}$

7. Si, au contraire ce volume de liquide eût été subitement introduit à l’époque $t+i$ ; comme à l’époque $t$ il se trouvait à la hauteur $z'$, sa hauteur à l’époque $t+i$ se fût trouvée d’abord $\mathrm {(G)}$

$z'-{\frac {v'}{b'}}z'{\frac {i}{1}}+{\frac {v'^{2}}{b'^{2}}}z'{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots \,;$

à quoi ajoutant l’élévation $\mathrm {(L)}$ due au liquide subitement introduit, c’est-à-dire,

${\frac {v}{b'}}z{\frac {i}{1}}-{\frac {v^{2}}{bb'}}z{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots \,;$

on aura pour hauteur totale, à l’époque $t+i$,

$z'+\left({\frac {v}{b'}}z-{\frac {v'}{b'}}z'\right){\frac {i}{1}}+\left({\frac {v'^{2}}{b'^{2}}}z'-{\frac {v^{2}}{bb'}}z\right){\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots \qquad \mathrm {(N)}$

8. Présentement il est facile de voir que $i$ peut toujours être supposé assez petit, sans être nul, pour que la hauteur effective du liquide dans le vase $\mathrm {V} '$, à l’époque $t+i$ soit moyenne entre celles qui résultent de ces deux hypothèses, c’est-à-dire, pour que la fonction $\mathrm {(I)}$ soit comprise entre les fonctions $\mathrm {(M)}$ et $\mathrm {(N)}$ ; d’où l’on doit conclure, comme ci-dessus,

${\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} t}}={\frac {v}{b'}}z-{\frac {v'}{b'}}z',$