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QUESTIONS

11. En considérant que les valeurs $h$ et $h'$ de $z$ et $z'$ doivent se correspondre, on aura pareillement

${\frac {bv'}{bv'-b'v}}\operatorname {Log} .h+\operatorname {Log} .C={\frac {b'v}{bv'-b'v}}\operatorname {Log} .\left\{\left(bv'-b'v\right)h'-bvh\right\},$

équation qui, retranchée de la précédente, donne

${\frac {bv'}{bv'-b'v}}\operatorname {Log} .{\frac {z}{h}}={\frac {b'v}{bv'-b'v}}\operatorname {Log} .{\frac {(bv'-b'v)z'-hvz}{(bv'-b'v)h'-bvh}},$

ou simplement

$bv'\operatorname {Log} .{\frac {z}{h}}=b'v\operatorname {Log} .{\frac {(bv'-b'v)z'-bvz}{(bv'-b'v)h'-bvh}}\,;$

ce qui revient à

$\left({\frac {z}{h}}\right)^{bv'}=\left\{{\frac {(bv'-b'v)z'-bvz}{(bv'-b'v)h'-bvh}}\right\}^{b'v},\qquad \mathrm {(P)}$

ou encore

${(bv'-b'v)h'-bvh}\left({\frac {z}{h}}\right)^{\frac {bv'}{b'v}}=(bv'-b'v)z'-bvz,$

et donne

$z'={\frac {{(bv'-b'v)h'-bvh}\left({\frac {z}{h}}\right)^{\frac {bv'}{b'v}}+bvz}{bv'-b'v}},$

formule qui donnera $z'$ lorsque $z$ sera connu.

12. Nous avons trouvé (5)

$z=he^{-{\frac {v}{b}}t},{\text{ d’où }}{\frac {z}{h}}=e^{-{\frac {v}{b}}t}{\text{ et }}\left({\frac {z}{h}}\right)^{\frac {bv'}{b'v}}=e^{-{\frac {v'}{b'}}t}\,;$

substituant donc, il viendra

$z'=h'e^{-{\frac {v'}{b'}}t}+bvh\cdot {\frac {e^{-{\frac {v}{b}}t}-e^{-{\frac {v'}{b'}}t}}{bv'-b'v}}$^[1]. $\qquad \mathrm {(Q)}$

1. Si dans l’équation $\mathrm {(O)}$, on substitue pour $z$ sa valeur en $t$, elle deviendra
   $b'{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} t}}=vhe^{-{\frac {v}{b}}t}-v'z'\,;$