proposée sur cinq droites est ramenée à la question correspondante sur trois droites ; et partant la question est toujours possible, déterminée et susceptible d’une seule solution. On montrera aussi que la question proposée sur six droites est ramenée à la question correspondante sur quatre droites, et partant qu’elle est susceptible d’impossibilité et d’indétermination.
En général, la question étant proposée sur un nombre quelconque de droites (plus grand que deux), elle est toujours ramenée à la question correspondante sur des droites dont le nombre est inférieur de deux unités. Si donc le nombre des droites données est impair, le problème est finalement ramené à trouver deux droites dont on connaît la différence et le rapport. Afin donc que, dans ce cas, le problème soit possible et déterminé, la différence ne doit pas évanouir, et le rapport donné ne doit pas être un rapport d’égalité. Si la différence évanouit, le rapport est déterminé à être celui d’égalité, et alors la question est indéterminée.
Remarque. On résout sensiblement de la même manière les cas dans lesquels les droites données sont, en tout ou en partie, des différences des droites cherchées. Le nombre des droites données étant quelconque, pair ou impair, si le nombre de celles auxquelles répond une somme est pair, la question est susceptible d’indétermination ou d’impossibilité.
PROBLÈME. À un polygone donné, inscrire un polygone de même nom, dont les côtés soient respectivement parallèles à des droites données de position ?
Solution. Dans chacun des triangles retranchés par les côtés du polygone inscrit, lesquels ont pour bases les côtés de ce polygone et pour sommets les sommets correspondans du polygone donné ; dans ces triangles, dis-je, les angles sont donnés ; parlant, ces triangles sont donnés d’espèce, et en particulier les rapports de ceux de leurs côtés qui font partie des côtés du polygone proposé, sont donnés. De là la question est immédiatement ramenée au lemme qui vient de nous occuper.
