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QUESTIONS

Savoir : désignons par $\mathrm {A,A',A'',\ldots A^{\aleph -1},A^{\aleph },}$ les sommets du polygone donné, et par $\mathrm {X,X',X'',\ldots X^{\aleph -1},X{\aleph },}$ les sommets du polygone cherché, de manière que le sommet $\mathrm {X}$ soit sur $\mathrm {A^{\aleph }A,}$ le sommet $\mathrm {X'}$ sur $\mathrm {AA',}$ et ainsi de suite. On connaît les droites $\mathrm {A^{\aleph }A,AA',A'A'',\ldots A^{\aleph -1},A^{\aleph },}$ et les rapports $\mathrm {AX:XA',\ A'X':X'A'',\ A''X'':X''A''',\ldots \ A^{\aleph }X^{\aleph }:X^{\aleph }A}$ de leurs parties.

Puisque cette inscription est ramenée à notre lemme, elle est possible et unique, lorsque le nombre des côtés du polygone proposé est impair ; elle est susceptible d’impossibilité ou d’indétermination, lorsque le nombre des côtés de ce polygone est pair.

Je crois devoir éclaircir l’indétermination, si elle a lieu, par quelques exemples.

Premier exemple. Soit un quadrilatère $\mathrm {AA'A''A''',}$ (fig.9) dont $\mathrm {AA''}$ et $\mathrm {A'A''}$ soient les diagonales. À la diagonale $\mathrm {A'A'''}$ soit menée arbitrairement une parallèle, se terminant en $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X'''}$ aux côtés $\mathrm {AA'}$ et $\mathrm {AA'''}$ de ce quadrilatère. Par les points $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X'''}$ soient menées à l’autre diagonale $\mathrm {AA''}$ des parallèles, se terminant en $\mathrm {X'}$ et $\mathrm {X''}$ aux côtés $\mathrm {A''A'}$ et $\mathrm {A''A'''}$ et soit enfin menée $\mathrm {X'X''}$. J’affirme que cette droite sera, comme $\mathrm {XX'''}$ parallèle à la diagonale $\mathrm {A'A'''}$ ; et partant que le quadrilatère $\mathrm {XX'X''X'''}$ est un parallélogramme.

On a, en effet, par construction,

${\begin{aligned}\mathrm {A''X':A\ X} \ \ \,=&\mathrm {A''A':A'A} ,\\\mathrm {A\,X\ \ \ :A\ X'''} =&\mathrm {A'A\ \ :AA'''} ,\\\mathrm {AX''':A''X''} =&\mathrm {AA''':A''A'''} \,;\\{\text{donc}}\qquad \qquad \mathrm {A''X':A''X''} =&\mathrm {A''A':A''A'''} \,;\\\end{aligned}}$

donc $\mathrm {X'X''}$ est parallèle à $\mathrm {A'A'''.}$

Ou bien, les rapports $\mathrm {X'A':A'X,\ XA:AX''',\ X'''A''':A'''X''}$ étant respectivement égaux aux rapports $\mathrm {A''A':A'A,\ A'A:AA'''} ,$$\mathrm {AA''':A''A''',}$ le rapport $\mathrm {A''X':A''X''}$ est déterminé à être égal au rapport $\mathrm {A''A':A''A'''}$ ; et le nombre des polygones équiangles inscriptibles au quadrilatère proposéest illimité.

Second exemple. Soit $\mathrm {AA'A''A'''A''''A^{v}}$ un hexagone. (fig. 10) Soient