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RÉSOLUES.

menées les diagonales $\mathrm {AA'',A'A''',A''A'''',A'''A^{v},A''''A,}$ qui retranchent deux côtés. Par un point $\mathrm {X}$, pris arbitrairement sur l’un $\mathrm {AA'}$ des côtés, soit menée à la diagonale $\mathrm {AA''}$ une parallèle terminée en $\mathrm {X'}$ au côté $\mathrm {A'A''}$ ; par $\mathrm {X'}$ soit menée à la diagonale $\mathrm {A'A'''}$ une parallèle terminée en $\mathrm {X''}$ au côté $\mathrm {A''A'''}$ ; soient de même menées $\mathrm {X''X'''}$ parallèle à $\mathrm {A''A'''',}$ $\mathrm {X'''X''''}$ parallèle à $\mathrm {A'''A^{v}} ,$ $\mathrm {X''''X^{v}}$ parallèle à $\mathrm {A''''A,}$ et soit enfin menée $\mathrm {X^{v}X}$ ; j’affirme que cette dernière droite est parallèle à la diagonale $\mathrm {A'A^{v}.}$

On a, en effet, par construction

${\begin{array}{lllll}&\mathrm {X\ \ \,A'\ \,} :\mathrm {A'\ X'} &=\mathrm {A\ \ \,A'\,\ \,} :\mathrm {A'\ \ A''} ,\\&\mathrm {A'\ \,X'\ \,} :\mathrm {X''\,A'''} &=\mathrm {A'\ \,A''\,} :\mathrm {A''\ \,A'''} ,\\&\mathrm {X''\,A'''} :\mathrm {A'''X'''} &=\mathrm {A''\ A'''} :\mathrm {A'''\ A''''} ,\\&\mathrm {A'''X'''} :\mathrm {X'''A^{v}} &=\mathrm {A'''A''''} :\mathrm {A''''A^{v}} ,\\&\mathrm {X''''A^{v}} :\mathrm {X^{v}\,A^{v}} &=\mathrm {A''''A^{v}\ } :\mathrm {A\ \ \ A^{v}} ,\\{\text{donc}}\qquad \qquad &\mathrm {X\ \ \,A'\ \,:X^{v}\ A^{v}\ } &=\mathrm {A\ \ \ \,A'\ \,:A\ \ \ A^{v}} \,;\\\end{array}}$

donc la droite $\mathrm {XX^{v}}$ est parallèle à la diagonale $\mathrm {A'A^{v}.}$

Partant, les rapports $\mathrm {XA':A'X',\ A'X':X''A''',\ X''A''':A'''X'''} ,$ $\mathrm {A'''X''':X''''A^{v},\ X''''A^{v}:X^{v}A^{v}}$ étant respectivement égaux aux rapports $\mathrm {AA':A'A'',}$ $\mathrm {A'A'':A''A''',}$ $\mathrm {A''A''':A'''A^{v},}$ $\mathrm {A''A'''':A''''A^{v},}$ $\mathrm {A''''A^{v}:AA^{v},}$ le rapport $\mathrm {XA':X^{v}A^{v}}$ se trouve déterminé à être égal au rapport $\mathrm {AA':AA^{v}}$ ou encore, dans le polygone $\mathrm {XX'X''X'''X''''X^{v},}$ les côtés $\mathrm {XX',X'X'',\ X''X''',\ X'''X'''',\ X'''X^{v}}$ étant respectivement parallèles aux diagonales $\mathrm {AA'',\ A'A''',\ A''A'''',\ A'''A^{v},\ A''''A,}$, le côté restant $\mathrm {X^{v}X}$ se trouve déterminé à être parallèle à la diagonale $\mathrm {A^{v}A'} \;;$ et le nombre des hexagones, équiangles entre eux, inscriptibles à l’hexagone proposé, sous les conditions données, demeure illimité.

Cette propriété s’étend à tous les polygones d’un nombre de côtés pair, en menant des parallèles aux diagonales qui joignent les extrémités des côtés des angles du polygone donné.

Scholie. Le problème proposé trouve une application qui mérite