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QUESTIONS

Deuxième solution ;

Par M. Penjon, professeur de mathématiques au lycée
d’Angers.

J’observerai d’abord que, pour que le problème proposé n’ait qu’une solution unique, il est nécessaire d’indiquer à laquelle des droites données de position chaque côté du polygone cherché doit être parallèle ; car autrement, $m$ désignant le nombre des côtés du polygone donné, et conséquemment aussi le nombre des droites données de position, le nombre des solutions du problème serait $1.2.3\ldots m.$

Soient $\mathrm {S_{1}S_{2}}$ et $\mathrm {S_{2}S_{3}}$ deux côtés consécutifs du polygone donné (fig. 11), et soit $\mathrm {X_{1}X_{2}}$ le côté du polygone cherché qui répond à l’angle $\mathrm {S_{2}}$. Par $\mathrm {S_{1}}$ soit menée $\mathrm {S_{1}K_{2}}$ parallèle à celle des droites données de position à laquelle $\mathrm {X_{1}X_{2}}$ doit être lui-même parallèle.

Soient $\mathrm {S_{2}S_{1}} =a_{1},\mathrm {S_{2}K_{2}} =b_{2}\mathrm {S_{2}X_{1}} =x_{1},\mathrm {S_{2}X_{2}} =y_{2}$ ; nous aurons

${\frac {a_{1}}{x_{1}}}={\frac {b_{2}}{y_{2}}}{\text{ ou }}a_{1}y_{2}=b_{2}x_{1},$

et il est clair que, si $m$ est le nombre des côtés du polygone proposé, nous aurons $m$ équations semblables entre les $2m$ inconnues

$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots x_{m}\,;$

$y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{m}.$

Nous aurons de plus, entre les mêmes inconnues, $m$ autres équations de la forme $x_{1}+y_{1}=a_{1},\quad x_{2}+y_{2}=a_{2},\ldots$ ce qui sera suffisant pour les déterminer ; et, comme ces équations sont toutes du premier degré, le problème, lorsqu’il sera possible et déterminé, n’admettra jamais plus d’une solution.

Premier exemple. Pour le triangle, les équations seront

$a_{1}y_{2}=b_{2}x_{1},\quad x_{1}+y_{1}=a_{1},$

$a_{2}y_{3}=b_{3}x_{2},\quad x_{2}+y_{2}=a_{2},$

$a_{3}y_{4}=b_{4}x_{3},\quad x_{3}+y_{3}=a_{3},$